Теплопроводность однородного цилиндрического стержня

Рассмотрим круглый цилиндр, радиус которого мал по сравнению с длиной цилиндра. При этих условиях температура будет изменяться только вдоль радиуса r (рис. 10). Внутренние источники теплоты равномерно распределены по объему стержня.

Рис. 10 Теплопроводность однородного цилиндрического стержня при наличии внутренних источников тепла

Как и для пластины, задача будет одномерной и симметричной.

Уравнение имеет вид:

. (1)

Граничные условия:

при r = 0 ;

при r = r₀ .

Необходимо найти: уравнение температурного поля и тепловой поток.

Проведем замену переменных , тогда уравнение (1) примет вид:

(2)

Умножим выражение (2) на rdr и получим:

. (3)

Первые два слагаемых выражения (3) являются:

.

Тогда выражение (3) можно представить в виде:

.

После интегрирования получим:

. (4)

Разделим выражение на r, получим:

.

Вернувшись к замене, получим:

. (5)

После второго интегрирования получим:

.(6)

Определим с₁ и с₂ из граничных условий.

При r = 0 находим из (5), что с₁ = 0.

При r = r₀ находим из (5), что и подставляем в граничные условия:

.

Откуда:

.

Из (6) находим с₂:

;

.

Уравнение температурного поля:

.