Охлаждение (нагревание) неограниченной пластины

Дана пластина толщиной 2d. Если толщина пластины мала по сравнению с длиной и шириной, то такую пластину считают неограниченной. Коэффициент теплоотдачи a одинаков для всех точек пластины (рис. 12). Изменение температуры происходит в направлении х. В пространстве задача является одномерной.

Рис. 12 К охлаждению плоской неограниченной пластины. При τ = 0 задано Т₀=const и θ₀=const.

Начальное распределение температуры задано некоторой функцией

.

Охлаждение происходит в среде с постоянной температурой Т_ж = const. Отсчет температуры пластины для любого момента времени будем вести от температуры окружающей среды Т_ж, то есть

.

Дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид:

. (1)

Начальные условия: при t = 0 θ = θ ₀ = f (x) – Т_ж = F(х).

При заданных условиях охлаждения задача становиться симметричной и начало координат удобно поместить на оси пластины.

При этом граничные условия:

а) на оси пластины при х = 0 ;

б) на поверхности пластины при х = d .

Для решения дифференциального уравнения применяем метод разделения переменных. При этом решение дифференциальное уравнения ищем в виде произведения двух функций, из которых одна является функцией только времени t, а другая – только х:

.

После подстановки этого выражения в уравнение (1), получим:

или

.

В этом уравнение легко разделяются переменные

^. (2)

Левая часть – функция только t, правая только х. Если зафиксировать аргумент х и менять только t, то при любом его значении левая часть уравнения (2) равна постоянной величине, стоящей в правой части, то есть . Аналогично при фиксации t и изменении х правая часть уравнения для любого значения х должна равняться постоянной левой части, которая зависит только от t, то есть .

Так как равенство (2) должно иметь место при любых значениях х и t, то обе его части должны быть равны одной и той же постоянной величине.

.

Нетривиальное решение для функции ᴪ(х) только при e < 0. Положим, что e = - k² :

.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений:

; (3)

. (4)

Постоянная k определяется из граничных условий, а знак «минус» выбирается из физических соображений. Для тепловых процессов, стремящихся к тепловому равновесию, знак может быть только минус.

Уравнению (3) удовлетворяет функция .

Уравнение (4) – функция .