Q – угол закручивания стержня (вала) при кручении, рад.

Характеристики материала:

s_пц – предел пропорциональности, МПа;

s_т – предел текучести, МПа;

s_в – временное сопротивление (для хрупких материалов – предел прочности при растяжении, – предел прочности при сжатии), МПа;

[s], [t] – допускаемые напряжения, МПа;

E – модуль упругости, МПа;

n – коэффициент Пуассона;

A – коэффициент линейного температурного расширения, 1/град.

СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

Рекомендуемая литература

Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 6 (§ 6.5, § 6.6), гл.4.

Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 7, 15.

Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 9.

Основные понятия и формулы

Сложное сопротивление – такой вид деформации, при котором в стержне могут возникнуть все шесть видов внутренних усилий одновременно. Эти усилия определяются, как обычно, методом сечений. При построении эпюр внутренних усилий правила знаков для продольной силы и крутящего момента используем те же, что и раньше. Для изгибающих моментов принимается другоеправило знаков, а именно: изгибающий момент считается положительным, если он вызывает растягивающие напряжения в положительном квадранте (т. е. в том квадранте, где координаты и ). Поперечная сила считается положительной, если она действует по направлению оси (или ) и находится в сечении, внешняя нормаль к которому совпадает по направлению с осью . Рис. 5.1 поясняет правила знаков для всех внутренних усилий.

Рис. 5.1. Правила знаков для внутренних усилий в задачах сложного сопротивления

От действия всех внутренних усилий в поперечном сечении стержня возникают нормальные и касательные напряжения. Нормальные напряжения связаны с действием продольной силы и изгибающих моментов и определяются в любой точке поперечного сечения[1] по формуле

. (5.1)

Здесь и – координаты той точки, в которой находятся напряжения, в главной центральной системе координат; , – осевые моменты инерции относительно главных центральных осей. При использовании приведенного выше правила знаков для изгибающих моментов формула (5.1) автоматически дает знак напряжений при подстановке координат точки со своим знаком независимо от направления осей. Напомним, что положительный знак напряжений говорит о том, что в рассматриваемой точке действует растягивающее напряжение.

При расчете конструкций нас, как правило, интересуют максимальные напряжения. Точки, в которых они действуют, называются опасными. Для определения положения опасных точек с максимальными (растягивающими или сжимающими) нормальными напряжениями надо построить нейтральную линию и найти точки, наиболее удаленные от нее. Напомним, что нейтральной линией называется линия, на которой нормальные напряжения равны нулю. Для построения нейтральной линии запишем ее уравнение, приравняв напряжения в формуле (5.1) нулю:

. (5.2)

В уравнении (5.2) y и z – координаты точек, принадлежащих нейтральной линии. Построив по уравнению (5.2) нейтральную линию, проведем прямые, касательные к контуру сечения и параллельные нейтральной линии. Точки касания этих прямых контура сечения и являются опасными точками, в которых действуют максимальные нормальные напряжения. Рис. 5.2 поясняет описанное построение для сечения произвольной формы. Показанная на рис. 5.2 эпюра нормальных напряжений соответствует положительным значениям усилий в уравнении (5.2). Максимальное напряжение действует в точке 1, именно эта точка и будет опасной. Для определения нормальных напряжений в этой точке подставим в формулу (5.1) координаты и этой точки (см. рис. 5.2). Заметим, что при отрицательной (сжимающей) продольной силе максимальные сжимающие напряжения будут по модулю больше растягивающих. В этом случае для хрупких материалов опасными будут обе точки: и точка 1, и точка 1¢ (см. рис. 5.2).

Рис. 5.2. Определение положения опасных точек с максимальными нормальными напряжениями

От поперечных сил в сечении стержня возникают касательные напряжения, которые определяются по формуле Журавского в тех случаях, когда она применима (т. е. когда t можно считать равномерно распределенными по ширине сечения, что приемлемо, если Q действует по оси симметрии сечения или сечение является тонкостенным). Как известно из опыта расчета конструкций при плоском поперечном изгибе, касательные напряжения от поперечной силы, как правило, существенно меньше нормальных напряжений, поэтому в задачах сложного сопротивления при проверке прочности их чаще всего не учитывают.

Крутящий момент вызывает в сечении касательные напряжения. Формулы для определения этих касательных напряжений зависят от формы поперечного сечения и изучались ранее. Эти формулы для двух наиболее часто применяемых форм сечения – круглого и прямоугольного – будут рассмотрены в разд. 5.3 "Общий случай сложного сопротивления".

Чаще всего в реальных конструкциях встречаются два частных случая сложного сопротивления: косой (или пространственный) изгиб и внецентренное растяжение-сжатие. В разд. 5.1 и 5.2 рассматриваются эти виды деформаций, разд. 5.3 описывает проверку прочности конструкций в общем случае сложного сопротивления.