Численное интегрирование

В прикладных исследованиях часто возникает необходимость вычисления определенных интегралов . К сожалению, в подавляющем большинстве случаев получить значение такого интеграла известными аналитическими методами не удается. Например, интеграл широко используется при исследовании процессов теплообмена и диффузии, в статистической физике и теории вероятностей. Однако его значение не может быть выражено в виде конечной комбинации элементарных функций. В других случаях окончательный результат выражается чрезмерно громоздкой формулой, неудобной для дальнейших вычислений. Иногда подынтегральная функция задана таблично, и точное значение интеграла получить невозможно. Тогда применяют специальные методы численного интегрирования.

Определение: квадратурной формулойназывается приближенное равенство вида , (4.1)

где - некоторые точки из отрезка , называемые узлами, а - числовые коэффициенты, называемые весами квадратурной формулы. Величина называется погрешностью (или остаточным членом) квадратурной формулы.

Ниже рассматриваются некоторые широко распространенные простые квадратурные формулы. Все они основаны на геометрических представлениях. Будем интерпретировать интеграл как площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции (при ), осью абсцисс и прямыми и (рис.7).

Рис.7

Разобьем отрезок на элементарные отрезки точками . Интеграл разобьется при этом на сумму элементарных интегралов , где , что соответствует разбиению площади исходной криволинейной трапеции на сумму площадей элементарных криволинейных трапеций (рис.7). Введем обозначения: , где - середина элементарного отрезка. Для простоты шаг будем считать постоянным ( ).