Для дифференциальных уравнений 1-го порядка

Обыкновенные дифференциальные уравнения довольно часто встречаются в различных прикладных задачах строительной механики, электротехники, исследовании разнообразных технологических процессов и поведения сложных инженерных систем. Характеристики соответствующих явлений, как правило, непрерывным образом зависят от времени и подчиняются физическим законам, которые формулируются в виде дифференциальных уравнений с начальными условиями, то есть требуют решения задачи Коши. Подавляющее большинство возникающих на практике задач такого рода невозможно решить без использования вычислительной техники. Поэтому численные методы решения задачи Коши играют в инженерных и научно-технических расчетах особую роль.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной с начальным условием в точке :

(5.1)

Из теории дифференциальных уравнений известно, что если и непрерывны в окрестности точки , то в этой окрестности существует, и единственное, решение задачи Коши (5.1).

На первом этапе численного решения отрезок области непрерывного изменения аргумента заменяется набором дискретных точек , который называется сеткой. Сами точки называются узлами сетки, а величина - шагом сетки. Мы будем рассматривать такие сетки, у которых шаг постоянен, тогда

(5.2)

Следующий этап в построении численного метода состоит в замене задачи Коши ее дискретным аналогом - системой уравнений, решая которую можно последовательно найти значения сеточной функции , играющие роль приближений к значениям решения задачи Коши в узлах сетки.

Метод Эйлера

Простейший дискретный аналог дифференциального уравнения (5.1) представляет собой уравнение

,
приводящее к методу Эйлера. Вычисление очередного значения осуществляется здесь по формуле

. (5.3)

Геометрическая интерпретация метода Эйлера проиллюстрирована на рис.12. На каждом шаге вычислений строится касательная к интегральной кривой в точке , и за принимается ордината точки ее пересечения с
вертикальной прямой . В результате неизвестная интегральная кривая заменяется ломаной линией, называемой ломаной Эйлера.

Рис. 12

Реализация численного алгоритма на компьютере предполагает построение алгоритма, позволяющего вычислить решение поставленной дискретной задачи Коши. В данном случае (и во всех ниже рассматриваемых случаях) вычисления производятся по явной формуле - значение сеточной функции зависит только от предыдущих значений, и программирование алгоритма не вызовет особых затруднений. Такие методы называют явными. В неявных методах правая часть уравнения может зависеть от , и на каждом шаге возникает необходимость решения некоторого уравнения относительно . Примером здесь может служить неявный метод Эйлера, когда вычисления производят по формуле .