Интегрирование по частям

1. где ( ).

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

Основные методы интегрирования

Интегрирование способом подстановки

В основе интегрирования способом подстановки (или замены переменной) лежит свойство инвариантности формул интегрирования, которое заключается в следующем: если , то , где - произвольная дифференцируемая функция от x.

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановки: , где t – новая переменная, а – непрерывно дифференцируемая функция. В этом случае формула замены переменной:

(6.1)

Функцию стараются выбирать таким образом, чтобы правая часть формулы приобрела более удобный для интегрирования вид.

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям называется нахождение интеграла по формуле:

(6.2)

где u и v – непрерывно дифференцируемые функции от x. С помощью формулы (6.2) отыскание интеграла сводится к нахождению другого интеграла ; ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.

При этом в качестве u берется функция, которая при дифференцировании упрощается, а в качестве v – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Так, при нахождении интегралов вида

за u следует принять многочлен P(x), а за dv - соответственно выражения при отыскании интегралов вида

за u принимаются соответственно функции , а за dv – выражение .