Интегрирование оригинала
Пусть .Каково изображение ? Обозначим его через т.е. Продифференцируем .
Пусть Но , поэтому . Остаётся при
Итак, , т.е. при интегрировании оригинала от нуля до t изображение делится на p.
Найдем изображение для неопределенного интеграла (первообразной) = . Определенный интеграл также является первообразной для функции , поэтому .Положив , получим .
Тогда , где – постоянная.
Изображение функции найдено ранее, поэтому
Дифференцирование изображения
Пусть , т.е. .(2.3)
Продифференцируем обе части равенства (2.3) по параметру p.
, или . Тогда
.
Продифференцируем обе части равенства (3.1) дважды по параметру p.
, или .
Следовательно,
Продифференцировав равенство (3.1)по параметру p n раз, получим:
, или
, где – целое.
Изучим поведение интеграла Лапласа при .
Теорема 2.3
Если – функция с ограниченным ростом, , то при .
Доказательство
Пусть , тогда .
Рассмотрим сколь угодно малое Покажем, что можно указать такое p, с достаточно большой вещественной частью , для которого
В равенстве для разобьём интеграл, стоящий справа, на два интеграла:
Рассмотрим Так как , то для тех p, для которых , следовательно, Подберём так, чтобы интеграл был меньше . Это возможно, потому что функция непрерывна или кусочно-непрерывна при и
Рассмотрим , где – функция с ограниченным ростом, – показатель роста. Рассмотрим . Функция при , наибольшее значение на промежутке имеет при . Интеграл сходится, т.к. – функция с ограниченным ростом, а
Здесь c, s1 и -фиксированные величины, а переменная s произвольная. Взяв и достаточно большим, получим: т.к. - убывающая функция аргумента s.
Итак, при достаточно больших Рассуждения справедливы для любых сколь угодно малых. Следовательно, выполняется неравенство: при .
Теорема смещения
Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 609;