Интегрирование комплексных функций

Возможны разные подходы к определению понятия интеграла от комплексной функции. Так, например, - функции двух переменных, тогда можно вычислять двойные интегралы от них по некоторой плоской области, и объединять результаты в комплексное число вида . Однако в качестве основного всё же исторически был принят метод интегрирования по кривой, именно при таком подходе возможно введение понятия первообразной , а также получают применение многие факты из теории векторного поля. Итак, определение интеграла и метод его вычисления:

Определение. Пусть в области задана некоторая функция (не обязательно аналитическая), и в области расположена кусочно-гладкая кривая (не обязательно замкнутая). Введём разбиение кривой на n частей с помощью (n-1) внутренних точек. Таким образом, получилась последовательность точек , расположенных по порядку на кривой, где - начальная и конечная точки. Обозначим . Выберем на каждом участке дуги какую-то точку и составим интегральную сумму: . Предел интегральных сумм при измельчении разбиения, т.е. при , называется интегралом от функции по кривой и обозначается .

Метод вычисления.При вычислении необходимо разбить на действительную и мнимую части как функцию, так и дифференциал, затем раскрыть скобки и получить 4 слагаемых. Но их можно объединить по два, в двух из них нет мнимой единицы, а в двух она есть:

= .

Таким образом, при вычислении всё сводится к двум криволинейным интегралам 2-го рода от векторных полей и , а мнимая единица умножается на второй из них, при этом в самих вычислениях она фактически не участвует.