Численное интегрирование

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b]. Предположим, что определенный интеграл

(4.3.1)

существует, и поставим задачу его приближенного вычисления.

Будем считать, что на отрезке [a, b] в узлах равномерной одномерной сетки

h_x = {x_i / x_i = x_{i –1} + h, h > 0, i = 1, 2, 3, …, n; x₀ = a, x_n = b}

заданы y_i = f(x_i), i = 0, 1, 2, …, n – значения дифференцируемой на этом отрезке функции f(x). Требование равномерности сетки не является принципиальным, но позволит упростить ряд последующих записей.

Для приближенного вычисления определенного интеграла I заменим его суммой

(4.3.2)

Формулы вида (4.3.2) называют квадратурными. Квадратурные формулы отличаются способом задания коэффициентов квадратурной формулы c_k и расположением узлов квадратурной формулы x_k сетки h_x на отрезке [a, b], k = 0, 1, 2, …, n. Значение R в (4.3.2) определяет погрешность квадратурной формулы и состоит из погрешности аппроксимации определенного интеграла квадратурной формулой и вычислительной погрешности. Последняя включает в себя и погрешность значений функции f(x_k) в узлах.

Погрешность аппроксимации определенного интеграла квадратурной формулой зависит как от значений коэффициентов c_k, так и от расположения узлов x_k. Поскольку мы предположили равномерность сетки h_x, то расположение узлов квадратурной формулы на отрезке [a, b] будет полностью определяться шагом h сетки. Все оценки погрешности аппроксимации, приведенные в данном параграфе, предполагают достаточную степень гладкости функции f(x) на отрезке [a, b].

Для рассматриваемых квадратурных формул используется следующий подход. Узлы сетки h_x разбивают отрезок [a, b] на n частичных отрезков разбиения [x_k, x_{k + 1}], k = 0, 1, 2, …, n – 1. Используя свойства определенного интеграла I, представляем его в виде суммы частичных определенных интегралов I_k по частичным отрезкам разбиения:

(4.3.3)

(4.3.4)

Каждый из частичных интегралов I_k, k = 0, 1, 2, …, n – 1 аппроксимируем квадратурной формулой вида (4.3.2):

(4.3.5)

Тогда искомая квадратурная формула для приближенного вычисления определенного интеграла I на всем отрезке [a, b] может быть представлена как сумма частичных квадратурных формул J_k:

(4.3.6)

Квадратурные формулы, построенные рассмотренным способом, называют составными. Очевидно, что погрешность аппроксимации d определенного интеграла квадратурной формулой составного типа будет определяться как сумма погрешностей аппроксимации d_k на частичных отрезках разбиения [x_k, x_{k + 1}], k = 0, 1, 2, …, n – 1:

(4.3.8)

Теперь перейдем к рассмотрению конкретных квадратурных формул, которые можно назвать простейшими.