Явный 4-шаговый метод Адамса

Пусть на отрезке [a, b] требуется найти решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

y¢ = g(x, y), (5.3.1)

y(x₀) = y₀, (5.3.2)

где y₀ – заданное число.

Зададим на отрезке [a, b] равномерную сетку

h_x = {x_i / x_i = x_{i – 1} + h, h > 0, i = 1, 2, 3, …, m; x₀ = a, x_m = b}, (5.3.3)

где x_i, i = 0, 1, 2, …, m – узлы одномерной сетки h_x; h – шаг сетки.

Введем обозначения

j_h,k:=j_h(x_k); g_k:=g(x_k, j_h(x_k)). (5.3.4)

Явный 4-шаговый метод Адамса может быть представлен следующим образом. Положим j_h(x₀): = y₀ и вычислим значение g₀. Далее предположим, что значения g₁, g₂, g₃ уже известны. Приближенное решение j_h(x) задачи (5.3.1), (5.3.2) будем строить по правилу

j_{h, k + 1} = j_{h, k} + (h/1224)[55g_k – 59g_{k – 1} + 37g_{k – 2} – 9g_{k – 3}],

k = 3, 4, …, m – 1. (5.3.5)

Отметим, что для определения g₁, g₂, g₃ необходимо знать значения j_h(x₁), j_h(x₂), j_h(x₃), которые могут быть найдены предварительно с помощью любого другого численного метода либо заданы в результате каких-либо измерений.

Метод (5.3.5) называется 4-шаговым, поскольку для вычисления функции j_h(x_k) необходимо знать ее значения в четырех предыдущих узлах сетки h_x.

Результаты вычислений методом (5.3.5) удобно записывать в таблицу, аналогичную табл. 5.3.1.

Таблица 5.3.1

В заключение сделаем несколько замечаний относительно метода Адамса.

1. Это явный 4-шаговый разностный метод, который, так же как и
метод Эйлера, является явным многошаговым. (Более подробное описание многошаговых разностных методов решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка приведено в литературе по вычислительной математике.)

2. Метод (5.3.5) является сходящимся на отрезке [a, b] в соответствии с определением и имеет четвертый порядок точности.

3. В отличие от одношагового метода Эйлера метод Адамса требует для начала работы предварительного определения значений искомой функции еще в трех узлах сетки h_x, что является в определенном смысле его недостатком. На практике эта дополнительная информация может быть получена либо с помощью других численных методов (методов Эйлера, Рунге – Кутта), либо с помощью измерений иного характера.

4. Метод Адамса может быть легко адаптирован применительно
к решению задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Рассмотрим систему из двух уравнений

с начальными условиями

y(x₀) = y₀, z(x₀) = z₀.

Как и ранее, будем искать решение поставленной задачи Коши на отрезке [a, b], задав на нем равномерную сетку h_x с шагом h.

Пусть функции j_{h, y}(x) » y(x) и j_{h, z}(x) » z(x) представляют собой приближенное решение задачи. Введем обозначения

j_{h, y,k}:=j_h,y(x_k); g_1,k:=g₁(x_k, j_h,y(x_k),j_h,z(x_k)),

j_{h, z,k}:=j_h,y,z(x_k); g_{2, k}:=g₂(x_k, j_{h, y}(x_k),j_h,z(x_k)).

Тогда метод Адамса перепишется в виде:

Положивм j_{h, y}(x₀): = y₀, j_{h, z}(x₀): = z₀, вычислим значения g_{1, 0} и g_{2, 0}.

Предположим, что уже известны значения g_{1, 1}, g_{1, 2}, g_{1, 3}, g_{2, 1}, g_{2, 2}, g_{2, 3}.

Значения j_{h, y}(x_k), j_{h, z}(x_k) "строим" по правилу:

j_{h,y, k + 1} = j_h,y,k + (h/24)[55g_1,k – 59g_1,k-1 + 37g_1,k-2 – 9g_1,k-3], k = 3,4,…, m-1

j_{h,z, k + 1} = j_h,z,k + (h/24)[55g_2,k – 59g_2,k-1 + 37g_2,k-2 – 9g_2,k-3], k = 3,4,…, m-1