Квадратурная формула Симпсона

Предположим, что n = 2m, где n – общее число отрезков разбиения промежутка [a, b]. Затем на каждом отрезке [x_k, x_{k + 2}], k = 0, 2, 4, …, 2m – 2 аппроксимируем кривую y = f(x) параболической кривой z_k = a_kx² + b_kx + c_k, где коэффициенты a_k, b_k и c_k определены таким образом, чтобы кривая z_k проходила через точки (x_k, f(x_k)), (x_{k + 1}, f(x_{k + 1})) и (x_{k + 2}, f(x_{k + 2})). Очевидно, что исходя из этих условий коэффициенты a_k, b_k и c_k определяются однозначно.

Заменим далее площадь под кривой y = f(x) на каждом отрезке
[x_k, x_{k + 2}], k = 0, 2, 4, …, 2m – 2 площадью параболической трапеции, ограниченной сверху определенной по правилу параболической кривой
z_k = a_kx² + b_kx + c_k. Такая замена приведет к квадратурной формуле Симпсона (ее называют также квадратурной формулой параболических трапеций) на каждом отрезке [x_k, x_{k + 2}]:

(4.3.23)

Составная квадратурная формула Симпсона (параболических трапеций) для отрезка [a, b] имеет вид

(4.3.24)

Для квадратурной формулы Симпсона (4.3.23) оценка погрешности аппроксимации определяется неравенством

, (4.3.25)

где – максимум модуля четвертой производной функции f(x) на отрезке [x_k, x_{k + 2}], k = 0, 2, 1, …, 2m – 2.

Для составной квадратурной формулы Симпсона (4.3.24)

, (4.3.26)

где M₄ – максимум модуля четвертой производной функции f(x) на отрезке [a, b].

Таким образом, квадратурная формула Симпсона (4.3.23) имеет пятый, а составная квадратурная формула (4.3.24) – четвертый порядок точности по h. Из оценок (4.3.25) и (4.3.26) следует также, что квадратурная формула Симпсона (4.3.23) точна для полиномов до третьего порядка включительно.

Организация расчетов по рассмотренным квадратурным формулам предельно проста, поскольку сводится к суммированию с весовыми коэффициентами значений интегрируемой функции в узлах той или иной квадратурной формулы. Например, при использовании составной формулы Симпсона (4.3.24) данные удобно представить в виде таблицы, аналогичной табл. 4.3.1 (n = 2m – общее число отрезков разбиения отрезка интегрирования [a, b] должно быть четным).

Таблица 4.3.1

В заключение дадим общую характеристику рассмотренных квадратурных формул.

1. Квадратурные формулы левых и правых прямоугольников редко применяются в реальных расчетах ввиду их невысокой точности. В практическом отношении наибольшую ценность имеет часто используемая квадратурная формула Симпсона.

2. Выбор наилучшего распределения узлов на отрезке интегрирования является дополнительной возможностью для повышения точности квадратурных формул. Эта возможность реализована в квадратурных формулах Гаусса, имеющих наивысшую алгебраическую точность.

3. Исходя из приведенных выше оценок погрешностей аппроксимации, нельзя вычислить действительную точность приближенного значения определенного интеграла, найденного с помощью квадратурных формул. Это объясняется невозможностью с достаточной степенью точности оценить значение максимума модуля производной интегрируемой функции на отрезке [a, b]. Рассматриваемое в п. 4.3.2 правило Рунге позволяет обойти эту проблему при оценке точности численного интегрирования.