Квадратурная формула Симпсона


Предположим, что n = 2m, где n – общее число отрезков разбиения промежутка [a, b]. Затем на каждом отрезке [xk, xk + 2], k = 0, 2, 4, …, 2m – 2 аппроксимируем кривую y = f(x) параболической кривой zk = akx2 + bkx + ck, где коэффициенты ak, bk и ck определены таким образом, чтобы кривая zk проходила через точки (xk, f(xk)), (xk + 1, f(xk + 1)) и (xk + 2, f(xk + 2)). Очевидно, что исходя из этих условий коэффициенты ak, bk и ck определяются однозначно.

Заменим далее площадь под кривой y = f(x) на каждом отрезке
[xk, xk + 2], k = 0, 2, 4, …, 2m – 2 площадью параболической трапеции, ограниченной сверху определенной по правилу параболической кривой
zk = akx2 + bkx + ck. Такая замена приведет к квадратурной формуле Симпсона (ее называют также квадратурной формулой параболических трапеций) на каждом отрезке [xk, xk + 2]:

(4.3.23)

Составная квадратурная формула Симпсона (параболических трапеций) для отрезка [a, b] имеет вид

(4.3.24)

Для квадратурной формулы Симпсона (4.3.23) оценка погрешности аппроксимации определяется неравенством

, (4.3.25)

где – максимум модуля четвертой производной функции f(x) на отрезке [xk, xk + 2], k = 0, 2, 1, …, 2m – 2.

Для составной квадратурной формулы Симпсона (4.3.24)

, (4.3.26)

где M4 – максимум модуля четвертой производной функции f(x) на отрезке [a, b].

Таким образом, квадратурная формула Симпсона (4.3.23) имеет пятый, а составная квадратурная формула (4.3.24) – четвертый порядок точности по h. Из оценок (4.3.25) и (4.3.26) следует также, что квадратурная формула Симпсона (4.3.23) точна для полиномов до третьего порядка включительно.

Организация расчетов по рассмотренным квадратурным формулам предельно проста, поскольку сводится к суммированию с весовыми коэффициентами значений интегрируемой функции в узлах той или иной квадратурной формулы. Например, при использовании составной формулы Симпсона (4.3.24) данные удобно представить в виде таблицы, аналогичной табл. 4.3.1 (n = 2m – общее число отрезков разбиения отрезка интегрирования [a, b] должно быть четным).

Таблица 4.3.1

Номер узла xi f(xi), i = 0, 2m f(xi), i = 2k – 1, k = 1, 2, …, m f(xi), i = 2k, k = 1, 2, ..., m – 1
x0 f(x0)
x1 f(x1)
x2 f(x2)
x3 f(x3)
x4 f(x4)
x5 f(x5)
x6 f(x6)
x7 f(x7)
x8 f(x8)
x9 f(x9)
x10 f(x10)
(1) (2) (3)
I » h[(1) + 4(2) + 2(3)]/3

В заключение дадим общую характеристику рассмотренных квадратурных формул.

1. Квадратурные формулы левых и правых прямоугольников редко применяются в реальных расчетах ввиду их невысокой точности. В практическом отношении наибольшую ценность имеет часто используемая квадратурная формула Симпсона.

2. Выбор наилучшего распределения узлов на отрезке интегрирования является дополнительной возможностью для повышения точности квадратурных формул. Эта возможность реализована в квадратурных формулах Гаусса, имеющих наивысшую алгебраическую точность.

3. Исходя из приведенных выше оценок погрешностей аппроксимации, нельзя вычислить действительную точность приближенного значения определенного интеграла, найденного с помощью квадратурных формул. Это объясняется невозможностью с достаточной степенью точности оценить значение максимума модуля производной интегрируемой функции на отрезке [a, b]. Рассматриваемое в п. 4.3.2 правило Рунге позволяет обойти эту проблему при оценке точности численного интегрирования.



Дата добавления: 2021-07-22; просмотров: 365;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.008 сек.