ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ ПОЛИНОМ НЬЮТОНА


Пусть х0, х1,..., хn – произвольные попарно не совпадающие узлы, в которых известны значения функции f. Запишем полином степени n в виде

Nn(x)=A0+A1(x–x0)+ A2(x–x0)(x–x1)+...+An(x–x0)(x–x1)...(x–xn–1).

Если выполняются условия (2.4)

Nn(xi)=f(xi), i=0, 1, ..., n,

то полином будет интерполяционным. Его коэффициенты найдутся из этих условий.

Положим х=х0, тогда f(x0)=A0. Коэффициент А0 определен.

Положим х=х1, тогда f(x1) =f(x0)+A1(x1–x0).

Отсюда . Этот коэффициент называется разделенной разностью первого порядка. При малом расстоянии между узлами х1 и х0 величина f(x0; x1) близка к первой производной функции f(x).

Положим х=х2 , тогда f(x2)= f(x0)+f(x0; x1)(x2–x0)+A2(x2–x0)(x2–x1).

Отсюда ,

где .

Величина f(x0; x1; x2) называется разделенной разностью второго порядка, и при малом расстоянии между х0, х1, х2 она близка ко второй производной функции f(x).

Аналогично находятся все остальные коэффициенты:

Полином вида

называется интерполяционным полиномом Ньютона для неравных промежутков. Он тождественно совпадает с интерполяционным полиномом Лагранжа, так что все суждения о погрешности Ln(x) остаются в силе и для Nn(x).

Сравним эти две формы интерполяционных полиномов.

Полином Лагранжа явно зависит от каждого значения функции fi,поэтому при изменении n полином требуется строить заново. Полином Ньютона выражается не через значения функции f, а через ее разделенные разности. При изменении n у него требуется только добавить или отбросить соответствующее число стандартных слагаемых. Поэтому интерполяционный полином Ньютона удобнее использовать, когда интерполируется одна и та же функция, но число узлов может меняться. Если же узлы фиксированы и интерполируется не одна, а несколько функций, то удобнее пользоваться интерполяционным полиномом Лагранжа.

Кроме того, в формуле Ньютона безразличен порядок, в котором пронумерованы узлы интерполяции. Это дает возможность подключать (или убирать) любые узловые точки в процессе построения интерполяционного полинома, причем в произвольном порядке. Пусть, например, необходимо вычислить значение функции в точке х, лежащей между узловыми точками х8 и х9некоторой таблицы. Перенумеровываем таблицу: х9« х0 ; х8 « х1 ; х10 « х2 ; х7 « х3 ; и так далее. Одновременно начинаем строить почленно интерполяционный полином Ньютона и вычислять значение f(x) с необходимой точностью.

Рассмотрим частные случаи интерполяционного многочлена Ньютона для таблиц с постоянным шагом.

1. Интерполяционный полином Ньютона для интерполирования вперед.

Пусть xi = x0+ih, h > 0, i = 0, 1,..., n.

Введем новую переменную t=(x – x0)/h.

Тогда x – x0 = t×h, x – x1 = (t – 1)×h, ..., x – xk = (t – k)×h и интерполяционный полином Ньютона можно записать в виде

Назовем D1yk = yk+1 – yk конечной разностью первого порядка, D2yk=Dyk+1 D yk - конечной разностью второго порядка, ...,

Dnyk=Dn–1yk+1 Dn–1yk - конечной разностью n-ого порядка.

Здесь уk = f(xk).

Конечные разности обладают следующими свойствами:

1) связь с производными: Dnyk » hnf(n)(x), в частности для полиномов Dnyk = anhnn!;

2) связь со значениями функции: , (2.7)

где – коэффициенты бинома Ньютона;

3) связь с разделенными разностями:

Тогда интерполяционный полином Ньютона можно переписать в виде

Остаточный член этой интерполяционной формулы имеет вид:

Видно, что с точки зрения уменьшения погрешности, целесообразно ограничиться случаем t<1, то есть использовать эту формулу при х0<x<x1 .

Для других значений аргумента, например для х1<x<x2,лучше взять в качестве начального значения х1 и так далее.

Таким образом, можно записать

,

где ; i=0, 1, 2,...

Это первый интерполяционный полином Ньютона для интерполирования вперед. Его обычно используют для вычисления значений табличной функции в точках левой половины рассматриваемого отрезка, а также для экстраполяции влево (при t<0).

2. Интерполяционный полином Ньютона для интерполирования назад.

Для правой половины рассматриваемого отрезка разности лучше вычислять справа налево. Тогда t=(x – xn)/h , –1<t<

Здесь xn–1<x<xn .

Аналогично предыдущему можно записать

i=n, n–1, n–2,...

Это второй интерполяционный полином Ньютона для интерполирования назад. Используется для вычисления значений табличной функции в точках правой половины рассматриваемого отрезка, а также для экстраполяции вправо.

Пример. Построить интерполяционный полином, если задана следующая таблица:

xк yк D1y D2y0 D3y0
 
   
     

1. Интерполяционный полином Лагранжа

2. Интерполяционный полином Ньютона.

3. Интерполяционный полином Ньютона для интерполирования вперед. t=(x – 4)/2.

.

4. Интерполяционный полином Ньютона для интерполирования назад. t=(x – 10)/2.

.

 



Дата добавления: 2020-10-25; просмотров: 522;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.014 сек.