Аппроксимация каноническим полиномом.


Выберем базисные функции в виде последовательности степеней аргумента x:

φ0(x) = x0 = 1; φ1(x) = x1 = x; φm(x) = xm, m < n.

Расширенная матрица Грама для степенного базиса будет выглядеть следующим образом:

.

Особенность вычислений такой матрицы (для уменьшения количества выполняемых действий) состоит в том, что необходимо сосчитать только элементы первой строки и двух последних столбцов: остальные элементы заполняются сдвигом предшествующей строки (за исключением двух последних столбцов) на одну позицию влево. В некоторых языках программирования, где отсутствует быстрая процедура возведения в степень, пригодится алгоритм расчета матрицы Грама, представленный далее.

Выбор базисных функций в виде степеней x не является оптимальным с точки зрения достижения наименьшей погрешности. Это является следствием неортогональности выбранных базисных функций. Свойство ортогональности заключается в том, что для каждого типа полинома существует отрезок [x0, xn], на котором обращаются в нуль скалярные произведения полиномов разного порядка:

, jk, ρ ­– некоторая весовая функция.

Если бы базисные функции были ортогональны, то все недиагональные элементы матрицы Грама были бы близки к нулю, что увеличило бы точность вычислений, в противном случае при определитель матрицы Грама очень быстро стремится к нулю, т.е. система становится плохо обусловленной.

 


Блок-схема алгоритма формирования матрицы Грама и аппроксимации полиномом.



Дата добавления: 2021-09-07; просмотров: 397;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.007 сек.