ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

До сих пор мы рассматривали интерполирование функций одной независимой переменной y=f(x). На практике возникает также необходимость построения интерполяционных формул для функций нескольких переменных. Рассмотрим для простоты функцию двух переменных z=f(x,y), заданную таблично:

Обозначим z_ij=f(x_i,y_j), h₁=x_i+1–x_i, h₂=y_j+1–y_j (то есть узлы – равноотстоящие). Запишем общую формулу интерполяционного многочлена от двух переменных. Очевидно, она должна иметь следующий вид:

Например, интерполяционный многочлен Ньютона 2-ой степени для двух переменных выглядит следующим образом:

Здесь по аналогии с конечными разностями введены частные конечные разности первого порядка:

и второго порядка

Какие существуют сложности при многомерном интерполировании?

1. Возрастает объем необходимой информации, то есть объем таблиц. Поэтому шаги по аргументам приходится брать довольно большими, что предъявляет жесткие требования к способу интерполирования.

2. Если для функции одной переменной степень полинома была взаимно однозначно связана с числом узлов, то для двух переменных полином n-ой степени P_n(x,y) имеет (n+1)(n+2)/2 узлов. Если число узлов не соответствует этой формуле, то часть коэффициентов при высших степенях приходится задавать произвольно (например, нули), что, естественно, влияет на точность аппроксимации.

3. Не всякое расположение узлов допустимо. В одномерном случае узлы не должны совпадать. Теперь же, например, при линейной интерполяции полиномом P₁(x,y) необходимо, чтобы узлы не лежали на одной прямой в плоскости (x,y)[6]. При интерполяции квадратичным полиномом P₂(x,y) требуется, чтобы узлы не лежали на кривой второго порядка. Такие условия проверять в общем случае довольно сложно, поэтому для хорошей интерполяции строят регулярную сетку. Наиболее удобная – прямоугольная сетка (рис.2.4).

Пусть, например, задана таблица z_i,j=f(x_i,y_j ) и требуется найти f(x,y). Сначала проводим одномерную интерполяцию (лагранжеву или ньютонову) по строкам, то есть для каждого фиксированного j находим L(x,y₀), L(x,y₁ ),..., L(x,y_m ).

Затем проводим одномерную интерполяцию по столбцам, то есть по значениям L(x,y_j ) находим L(x,y).