Оригиналы некоторых дробно-рациональных функций
При решении дифференциальных уравнений операторным методом, после того, как будет найдено изображение решения, иногда следует по изображению найти оригинал.
В общем случае эта задача решается с помощью преобразования, обратного преобразованию Лапласа-Карсона.
В более простых случаях, если изображение есть правильная рациональная дробь, то, разложив её на элементарные дроби, оригинал можно найти, используя полученную таблицу.
Известно, что элементарными дробями I рода называются дроби вида , а элементарными дробями II рода называются дроби вида
и
.
Как найти для них оригиналы?
1. Для дроби оригинал найдем, используя правило интегрирования оригинала
.
2. Для получения оригинала функции воспользуемся изображением функции
и правилом интегрирования оригинала. Так как
то
.
Аналогично можно найти оригиналы для функций и
.
3. Как найти оригинал для функции ?
Корни знаменателя комплексные. Выделяя в знаменателе полный квадрат, можно его привести к виду или
. Оригинал дляфункции
можно найти, используя формулу 11 из таблицы 1, а для функции
- по формуле 6. Оригинал для функции
можно найти, используя правило интегрирования оригинала. Так как
то
Вычислим определенный интеграл, используя формулу интегрирования по частям:
тогда
Таким образом:
4. Найдём оригинал для элементарной дроби второго рода .
Воспользуемся изображением и правилом дифференцирования изображения. Так как
то
, или
.(2.4)
Найдем оригинал для функции Так как
и
то
Таким образом:
.(2.5)
Из соотношений (2.4) и (2.5) и свойства линейности оператора Лапласа-Карсона получим:
, или
.
Аналогичными преобразованиями можно получить оригиналы для других элементарных дробей II рода.
Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 628;