Операционный метод решения некоторых дифференциальных

Уравнений

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными

Коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами.

. (2.6)

Найдем его частное решение при , удовлетворяющее начальным условиям:

(2.7)

Применим к соотношению (2.6) оператор Лапласа-Карсона, т.е. умножим все члены равенства на и проинтегрируем в пределах от 0 до , затем результат умножим на p.

Обозначим . Изображение производных найдем на основании правил дифференцирования и интегрирования оригинала. Изображение функции найдем по таблице 1 (см. с. 48). Таким образом, используя условия (2.7), получим: ; ;

; …; .

Запишем уравнение (2.6) в операторной форме.

.

Обозначим через и

. Тогда . Это есть изображение искомого частного решения. Оригинал находим или по таблице 1 или по формуле обращения, которая будет получена ниже.

Если является линейной комбинацией функций вида , то ее изображение есть рациональная дробь, показатель степени числителя которой не превышает показателя степени знаменателя. Такого же типа будет дробь . Выделив целую часть и разложив оставшуюся элементарную дробь на простейшие, найдем оригинал по таблице 1.

Решение дифференциального уравнения свелось к решению алгебраического уравнения, линейного относительно неизвестной функции , и нахождению по изображению оригинала.

Пример 1. Постоянное напряжение, равное , включено в цепь с последовательно включенным постоянным сопротивлением и самоиндукцией . Определить ток в цепи как функцию времени при > 0, если (см. рис. 2.1).

При последовательном соединении элементов падение напряжения в цепи складывается из падений напряжения на отдельных участках цепи. Поэтому

(2.8)

Обозначим , тогда и . В операторной форме дифференциальное уравнение (2.8) примет вид:

, тогда .

По формуле 3 таблицы 1 найдем .

Пример 2

Дано ; ; .

Найти при > 0. Пусть тогда и Применяя формулу 13 из таблицы 1, получим:

Запишем дифференциальное уравнение в операторной форме:

, или .

Разложив дробь на элементарные дроби, получим:

Тогда .

Пример 3

.

Найти при > 0. Пусть тогда

.

В операторной форме уравнение примет вид:

Отсюда

Тогда

.