Вывод формулы Хевисайда

Если изображение есть дробно-рациональная функция, удовлетворяющая некоторым условиям, то нахождение оригинала можно упростить, воспользовавшись формулой Хевисайда.

Пусть есть рациональная дробь.

Формулу выведем при некоторых ограничениях:

1. Если показатель степени многочлена есть n, то показатель степени не больше n.

2. Все корни многочлена – простые.

3. Среди корней многочлена нет нуля.

4. Числитель и знаменатель не имеют общих множителей, в противном случае их надо на этот множитель сократить (корни знаменателя не являются корнями числителя).

Замечание 1. Если является корнем кратности k многочлена , то для многочлена – корень кратности .

Пусть – корень кратности для многочлена , тогда , где . Найдем производную от по переменной p:

.

Выражение, стоящие в квадратных скобках, при в нуль не обращается, потому для многочлена является корнем кратности . Если - простой корень многочлена , то для корнем не является.

Вывод формулы Хевисайда.

Пусть ; где , , …, - корни тогда ··· .

Показатель степени числителя дроби не превышает показателя степени знаменателя. Разделим на p, чтобы гарантировать правильность дроби, и разложим получившуюся дробь на элементарные:

. (2.11)

Определим коэффициенты , , …, . Для этого умножим левую и правую части равенства (2.11) на p и, положив , найдем ; .

Умножив левую и правую части равенства (2.11) на и положив , найдем .

где .

Тогда изображение есть ,

соответственно, оригинал .

Пример 1. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: при .

Запишем уравнение в операторной форме:

, или

Применим формулу Хевисайда к функции , где ,

№ -2 -2 -3

. Найдем .

.

При этом . Тогда оригинал

.

Замечание 2. Если корни знаменателя простые, но среди них есть нулевой корень, то оригинал можно получить, применяя к дроби формулу Хевисайда и свойство об интегрировании оригинала.

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: при . Запишем уравнение в операторной форме:

Отсюда .

№ -1

Применим формулу Хевисайда к функции , где

и , .

Найдем .

, .

Тогда следовательно,

.

Замечание 3. В том случае, если среди корней есть кратные, тоже можно составить формулу разложения. Но нахождение коэффициентов этой формулы сильно усложняется.

Рассмотрим пример на применение формулы Хевисайда, если многочлен имеет мнимые корни.

Пример 3. .

Запишем уравнение в операторной форме:

. Отсюда , где и . При этом . Найдем .

№ -10 2i 4i 32-4i -2i -4i 32+4i

.

Тогда ,

или .