Интегродифференциальные уравнения
Рассмотрим задачу из электротехники.
Электрическая цепь состоит из последовательно включенных сопротивления , емкости , индуктивности и ЭДС, меняющейся по некоторому закону (см. рис. 2.2).
К моменту включения рубильника запас энергии в цепи равнялся нулю. Найти ток в цепи как функцию времени t. Элементы включены последовательно, поэтому падение напряжения в цепи складывается из падений напряжения на отдельных участках цепи.
Падение напряжения на сопротивлении есть ; падение напряжения на емкости равно отношению количества электричества к емкости, т.е. падение напряжения на индуктивности . Таким образом, . Начальные условия .
Решение задачи привелось к решению интегродифференциального уравнения вида: . Начальные условия: . Обозначим .
Запишем уравнение в операторной форме:
Найдем изображение .
Оригинал находим по таблице или по формуле обращения. Аналогично может быть найдено решение уравнения, в которое входит неопределенный интеграл искомой функции, но в этом случае в начальных условиях нужно задать значение . Порядок интегродифференциального уравнения также может быть повышен.
Пример 1.
Данное уравнение в операторной форме имеет вид:
тогда
Разложив дробь на элементарные дроби
находим по методу неопределенных коэффициентов ; ; ; .
Тогда соответственно
.
Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 453;