Интегродифференциальные уравнения

Рассмотрим задачу из электротехники.

Электрическая цепь состоит из последовательно включенных сопротивления , емкости , индуктивности и ЭДС, меняющейся по некоторому закону (см. рис. 2.2).

К моменту включения рубильника запас энергии в цепи равнялся нулю. Найти ток в цепи как функцию времени t. Элементы включены последовательно, поэтому падение напряжения в цепи складывается из падений напряжения на отдельных участках цепи.

Падение напряжения на сопротивлении есть ; падение напряжения на емкости равно отношению количества электричества к емкости, т.е. падение напряжения на индуктивности . Таким образом, . Начальные условия .

Решение задачи привелось к решению интегродифференциального уравнения вида: . Начальные условия: . Обозначим .

Запишем уравнение в операторной форме:

Найдем изображение .

Оригинал находим по таблице или по формуле обращения. Аналогично может быть найдено решение уравнения, в которое входит неопределенный интеграл искомой функции, но в этом случае в начальных условиях нужно задать значение . Порядок интегродифференциального уравнения также может быть повышен.

Пример 1.

Данное уравнение в операторной форме имеет вид:

тогда

Разложив дробь на элементарные дроби

находим по методу неопределенных коэффициентов ; ; ; .

Тогда соответственно

.