Применение формулы Хевисайда к решению задач по электротехнике

К линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами или к системам таких уравнений приводится решение многих задач электротехники. Остановимся на рассмотрении некоторых из них.

Задача 1. Включение постоянной электродвижущей силы в контур, состоящий из индуктивности и емкости, шунтированной сопротивлением. Пусть постоянная ЭДС, индуктивность, емкость и сопротивление включены по приведенной схеме (см. рис. 2.3).

До замыкания рубильника зарядов в цепи не было, т.е. при . Определить ток в катушке самоиндукции как функцию времени.

Падение напряжения в цепи складывается из падений напряжения на индуктивности и на участке цепи . Падение напряжения на участке равно разности потенциалов на обкладках конденсатора. Обозначим его через . Ток в катушке самоиндукции обозначим через .

.

В этом уравнении две неизвестные – и . Составим еще одно уравнение, используя закон Кирхгофа для случая параллельного включения элементов в цепь. Так как и то . В итоге получили систему уравнений: , относительно двух неизвестных и . Начальные условия: .

По условию задачи нужно найти только ток, так что решим эту систему относительно . Запишем систему в операторной форме. Пусть тогда . Найдем по формулам Крамера:

.

Корни уравнения равны .

Обозначим где , тогда

.

Найдем оригинал по формуле Хевисайда.

Если и , при этом , то

.

Произведем некоторые упрощения, пользуясь тем, что . Получим:

=

=

=

Итак, .

Если величина мнимая, то и выражаются через тригонометрические функции по формулам .

Задача 2. Включение постоянной электродвижущей силы в цепь, состоящую из двух индуктивно связанных контуров, не содержащих емкости.

В контур, состоящий из сопротивления и индуктивности , включается постоянная ЭДС . Первый контур связан со вторым, состоящим из сопротивления и индуктивности , взаимной индуктивностью M (см. рис. 2.4).

Включение производится при нулевых начальных условиях. Найти ток в первом контуре.

При включении рубильника электромагнитное поле первого контура индуцирует ток во втором контуре. Электромагнитное поле второго контура оказывает влияние на ток первого контура, коэффициент взаимной индукции M известен.

Составим дифференциальное уравнение для каждого контура:

.

Начальные условия: при .

Рисунок 2.4

Если каждый контур содержит емкость, то в правых частях уравнений появятся слагаемые вида и , что приведет к некоторому усложнению выкладок. Запишем уравнения в операторной форме.

Найдем по формулам Крамера.

.

Введем обозначения:

Найдем корни знаменателя

где

Тогда

Найдем оригинал по формуле Хевисайда.

Если и то

Выражение можно упростить и выразить через гиперболические функции, проделав преобразования. Подобные преобразования выполнены в прошлом примере. .