Изменение масштаба (теорема подобия)

Пусть Как изменится изображение, если его аргумент умножится на число ? Обозначим Тогда

где .

Итак, .

Если является аналитическим выражением некоторого колебательного процесса, то теорема подобия позволяет найти изображение при изменении частоты оригинала.

Дифференцирование оригинала

Пусть Каково изображение ?

Обозначим Тогда

Если – функция с ограниченным ростом, то сходится при всех p, , где – показатель роста . Но это возможно, только если при , а тогда , где

Если то Следовательно, если функция удовлетворяет нулевому начальному условию, то при её дифференцировании изображение умножается на p.

Пусть . Найдем изображение функции ,воспользовавшись свойством дифференцирования оригинала.

Обозначим . Тогда

, или

Если при то

Аналогично можно найти изображение производной любого порядка.

Если при то

Следовательно, если функция удовлетворяет нулевым начальным условиям, то при n–кратном её дифференцировании изображение умножается на .