С) Интегрирование оригинала.
Если и , то
.
Т.е. интегрирование оригинала в пределах от 0 до t приводит к делению изображения на р.
Доказательство:
Заметим, что , .
Пусть .
Найдем изображение производной .
В то же время
Приравнивая правые части, получим
,
т.е.
.
Важнейшее свойство преобразования Лапласа- это то, что сложным действиям дифференцирования и интегрирования в пространстве оригиналов соответствуют простые алгебраические действия умножения и деления на р в пространстве изображений.
9с) Дифференцирование изображений.
т.о. дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на (–t).
Доказательство:
,
.
Справа стоит интеграл Лапласа для функции ,т.е.
Применяя теорему n раз получим
Пример. Найти изображение степенной функции , используя 9с).
Если , то получить формулу можно последовательным дифференцированием и умножением на –t.
.
Повторяем умножение – дифференцирование.
По индукции нетрудно получить формулу
.
С помощью Г функции формулу можно распространить на любые .
.
Дата добавления: 2021-11-16; просмотров: 329;