ИЗОБРАЖЕНИЕ ПО ЛАПЛАСУ
Изображением по Лапласу функции-оригинала называется комплекснозначная функция комплексного аргумента , определяемая соотношением .
Соответствие между оригиналом и изображением символически записывается так:
Или обратное:
Здесь L - оператор прямого преобразования Лапласа,
L-1- оператор обратного преобразования Лапласа.
Итак, преобразование Лапласа является оператором, который каждой функции ставит в соответствие функцию .
Заметим, что метод Хевисайда, как это стало ясно после работ Карсона, заключается в переходе от функции к функции .
Таким образом, изображение по Хевисайду отличается от изображения по Лапласу множителем .
Наличие дополнительного множителя приближает метод Хевисайда к другому символическому методу, применяемому в электротехнике (методу Карсона), однако, оно вносит неоправданные усложнения в некоторые выкладки. Кроме того, преобразование Лапласа более естественно связывается с известным преобразованием Фурье, которое широко применяется в математической физике. Исходя из этих соображений, будем рассматривать преобразование Лапласа, а не преобразование Хевисайда.
Имеет место следующая теорема о существовании изображения по Лапласу.
Теорема:
Пусть функция является оригиналом, тогда интеграл Лапласа сходится абсолютно для всех значений комплексной переменной , удовлетворяющих условию: и определяет изображение , которое является аналитической функцией в полуплоскости .
Для доказательства оценим модуль интеграла Лапласа:
, если .
Итак: , что и говорит о абсолютной сходимости интеграла Лапласа.
Чтобы доказать аналитичность найдем производную:
.
Аналогично предыдущему можно показать: полученный интеграл сходится, значит, существует, и функция аналитична в полуплоскости (рис.2.1).
Следствие:
Так как , то , а если аналитична в бесконечно удаленной точке, то , т.е. имеет нуль в бесконечно удаленной точке.
Замечания.
1. обычно имеет изолированные особые точки и поэтому определена не только в полуплоскости , а всюду при , (Рис.3). Однако при .
2. Преобразование Лапласа относится к семейству интегральных преобразований типа:
, где - ядро преобразования.
Если
имеем преобразование Лапласа,
преобразование Меллина,
преобразование Ханкеля,
преобразование Фурье ,
,- синус и косинус преобразования Фурье .
Дата добавления: 2021-11-16; просмотров: 296;