ИМПУЛЬСНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ИЗОБРАЖЕНИЯ
Функции, которые не стремятся к нулю при , можно считать изображениями лишь в совершенно условном смысле. Эти условные изображения и соответствующие им оригиналы, так называемые импульсные функции, были введены Дираком и оказались полезными в ряде прикладных задач, в которых приходиться иметь дело с величинами, имеющими характер мгновенного толчка.
Рассмотрим функцию , график которой приведен на рис.6.1.
Она представляет величину, которая действует лишь на отрезке , где имеет постоянное значение , суммарный эффект ее действия равен .
Предположим теперь, что ; семейство функций , очевидно при этом расходится, но мы введем условную функцию , которую будем считать пределом такого семейства,
,
и называть импульсной функцией нулевого порядка, или короче, - функцией. Импульсная функция равна нулю всюду, кроме точки , где она равна и, тем не менее, для нее считается справедливым соотношение
,
предельное для такого же соотношения с функцией .
Таким образом, - функция представляет собой условное сокращенное образование для вполне определенного предельного процесса, который часто рассматривается в физике: бесконечно большая величина, действующая в бесконечно малый промежуток времени с суммарным эффектом, равным 1. Введение этой функции сильно упрощает вычисления, связанные с таким предельным процессом. Дельта – функция относится к обобщенным функциям.
Условимся считать, что изображение - функции получается как предельное для изображения функции:
, которое
по теореме запаздывания равно
Переходя к пределу при , получим (условно)
Полученный результат можно «подкрепить» следующими соображениями.
На рис.6.1 изображены пунктиром график интеграла функции
.
Из этого графика видно, что при стремится к функции , так что положим . Но тогда , а так как , то по теореме дифференцирования оригиналов снова получаем Значение оригинала при , участвующие в этой теореме, считаем равным нулю на том «основании», что оно получается как предельное при из значений ; формальное применение указанной теоремы, где мы должны положить , привело бы к неправильному результату. Удивляться этому не следует, ибо мы применяем теорему в ситуации, когда ее условия нарушаются.
Для любой функции-оригинала по теореме о среднем получаем:
,
где . Переходя здесь к пределу при , считаем по определению
а если разрывна при , то обозначает ее правое предельное значение.
В соответствии с этим снова получаем
Аналогично вводятся импульсные функции высших порядков:
- дельта-функция первого порядка,
- дельта-функция второго порядка,
и т.д.
Дата добавления: 2021-11-16; просмотров: 333;