Вопрос 2. Соотношения неопределенностей Гейзенберга.

Впервые соотношения неопределенностей были сформулированы немецким физиком Гейзенбергом в 1927 г.

Наиболее важными являются два соотношения неопределенностей. Первое устанавливает ограничения на точность одновременного определения координат частицы и соответствующих компонентов ее импульса. Для - координаты это соотношение записывается в виде

(20.4)

(при строгом применении формализма квантовой механики получается соотношение , однако для качественных оценок используют именно выражение (20.4)).

Второе соотношение устанавливает предел точности измерения энергии за данный промежуток времени

, (20.5)

где - длительность измерения энергии, - неопределенность энергии.

Соотношения неопределенностей обусловлены корпускулярно-волновым дуализмом.

В качестве примера рассмотрим движение свободного электрона в пространстве. Его движение описывается с помощью плоской монохроматической волны, которая обладает строго определенными значениями частоты и волнового вектора. При этом сопоставляемая электрону волна занимает все пространство и имеет неограниченное время существования. Докажем, что одновременное «точное» определение координаты и импульса электрона невозможно.

Результат прохождения световой волны через щель хорошо известен из оптических экспериментов. На экране наблюдается дифракционная картина в виде чередующихся светлых и темных полос. Можно предположить, что и прохождение электронной волны через щель приведет к аналогичным результатам.

Так как движения микрочастиц описываются либо с волновых, либо с корпускулярных позиций, то рассмотрим результаты дифракции электронов с более привычной корпускулярной точки зрения.

Пусть до щели все электроны двигались параллельно оси с одинаковыми импульсами (рис. 20.6).

Рис.20.6

Одинаковые значения импульсов электронов можно получить, разгоняя их в электрическом поле, а затем производя селекцию по скоростям. Однако о положении каждого электрона ничего определенного сказать нельзя. Координата электронов до щели совершенно не определена. Поэтому, в каком месте экрана окажется тот или иной электрон заранее предсказать невозможно. На экране получается дифракционная картина, аналогичная дифракции световой волны на щели. Она свидетельствует о том, что некоторые электроны прошли через щель в экране . Пусть ширина щели . Эта щель представляет собой своеобразный измерительный прибор, с помощью которого можно определить в плоскости экрана координату прошедшего электрона с точностью . Возникновение на экране дифракционной картины с корпускулярной точки зрения следует трактовать, как отклонение каждого электрона, прошедшего через щель, на некоторый угол от направления своего первоначального распространения, причём импульс электрона по абсолютной величине остается неизменным. Каждый электрон после прохождения через щель приобретет составляющую импульса . Причём меняется непредсказуемым образом от 0 (электрон вообще не отклонился от направления своего первоначального распространения) до (угол соответствует первому дифракционному минимуму). Часть электронов будет отклоняться на углы, большие чем , однако этим числом можно пренебречь по сравнению с количеством электронов, отклоняющихся в пределах центрального максимума. Таким образом, появляется неопределенность в нахождении проекции импульса на ось

. (20.6)

В оптике дифракционных явлений известно, что при падении на щель шириной монохроматической волны длиной , первый минимум интенсивности света появляется под углом , для которого выполняется соотношение: . Выражение (20.6) с учетом этого соотношения запишется в виде: . Используя формулу де Бройля , получим:

. (20.7)

Увеличивая ширину щели , можно уменьшить неопределенность в нахождении проекции импульса на ось и, наоборот, уменьшая неопределенность в нахождении координаты электрона (уменьшая ширину щели ) увеличиваем неопределенность . Одновременное с заранее заданной точностью определение координаты и проекции импульса электрона вследствие наличия у электрона волновых свойств, невозможно.

Таким образом, предел ошибок (неопределенностей) и , с которыми состояние микрочастицы можно характеризовать классически, то есть координатой и импульсом , определяется соотношением неопределенностей Гейзенберга (20.4). В частном случае неопределенности может и не быть. Так было при движении электронов до экрана . Но тогда, согласно соотношению неопределенностей, . Это означает, что частица может быть с равной вероятностью обнаружена в любом месте экрана .

Следует особо отметить роль постоянной Планка в соотношениинеопределенностей. Отличие от нуля исключает обращение в нуль при заданном значении . Только переход к классической физике, в которой , снимает ограничения на точность измерений.

При произвольном движении частицы в пространстве соотношения неопределенностей выражаются тремя неравенствами:

, , . (20.8)

Рассмотрим несколько примеров:

1). Электрон движется со скоростью V=10³ м/с. Пусть егоскорость определена с точностю ΔV/V=0,1⁰/₀. Чему равна неопределенность положения электрона?

Из соотношения (5.4) имеем: , но , тогда м = 0,73 мм,

хотя размер атомов или молекул ≈ 10^{-10 м.} Т.е. неопределенность в определении координаты Δx значительно больше размеров самого атома. Здесь электрон − классическая частица. Такая точность достаточна, чтобы можно было говорить о движении электронов по определенной траектории, иными словами, описывать их движения законами классической механики.

2). Пуля массой 10 г вылетает из винтовки со скоростью V = 10³ м/c. Пусть ΔV/V=0,1⁰/₀. Чему равна неопределенность положения пули?

м.

Т.е. неопределенность в определении координаты Δx значительно меньше размеров пули. Здесь пуля − классическая частица. Ее координата определяется точно.

3). Применим соотношение неопределенностей к электрону, движущемуся в атоме водорода. Допустим, что неопределенность координаты электрона Δx ≈10^{-10 м (порядка размеров самого атома), тогда, согласно (20.4),}

.

Используя законы классической физики, можно показать, что при движении электрона вокруг ядра по круговой орбите радиуса r ≈ 0,5⋅10^{-10 м его скорость} V ≈ 2,3⋅10⁶ м/с. Таким образом, неопределенность скорости в несколько раз больше самой скорости.Очевидно, что в данном случае нельзя говорить о движении электронов в атоме по определенной траектории. Иными словами, для описания движения электронов в атоме нельзя пользоваться законами классической физики.

Теперь обоснуем соотношение неопределенностей (5.5) для энергии и времени. Для волнового пакета (группы волн) справедливо соотношение:

, (20.9)

смысл которого заключается в том, что ограниченный во времени волновой процесс не может быть монохроматическим. Если процесс длится в течение времени , то разброс частот (и соответственно разброс длин волн) удовлетворяет соотношению (20.9). Поэтому если для наблюдения даже монохроматического процесса предоставлено некоторое время , то частота процесса может быть определена лишь с ошибкой , подчиняющейся соотношению (20.9). Так как , то соотношение (20.9) принимает вид: .

Это означает, что чем меньше время отведено для определения энергии микрообъекта, тем с меньшей неопределенностью можно говорить об энергии этого состояния. Электрон в стационарном состоянии атома может находиться сколь угодно долго ( ), поэтому энергия стационарного состояния имеет вполне определенное значение ( ) .