Формулы Эйлера и Ясинского

Для расчетов стержней на устойчивость необходимо знать способы определения критической силы F_кр.

Первые исследования устойчивости сжатых стержней были проведены ака­демиком Петербургской Академии наук Леонардом Эйлером (1707—1783). Ака­демик С. И. Вавилов писал: «Вместе с Петром I и Ломоносовым Эйлер стал доб­рым гением нашей Академии, определившим ее славу, ее крепость, ее продуктив­ность». В дальнейшем большая работа в области теоретического и эксперимен­тального исследования вопросов устойчивости была проведена русским ученым, профессором Петербургского института инженеров путей сообщения Ф. С. Ясин­ским (1856—1899)у опубликовавшим в 1893 г. большую работу «Опыт развития продольного изгиба».

Л. Эйлером была получена формула для определения величины кри­тической силы F_кр.

Приведем ф о р м у л у Эйлера без вывода:

где Е — модуль упругости первого рода; I_min — наименьший из осевых

моментов инерции сечения, поскольку искривление стержня происходит в плоскости наименьшей жесткости, в чем нетрудно убедиться, сжимая продольной силой слесарную линейку; l_п — приведенная длина стержня;

где l— длина стержня; — коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления концов стержня.

На рис. 26.2 показаны наиболее часто встречающиеся способы за­крепления концов стержня и приведены значения : 1) оба конца стержня закреплены шарнирно и могут сближаться (а); 2) нижний конец жестко защемлен, верхний свободен (б); 3) оба конца жестко защемлены, но мо­гут сближаться (в); 4) нижний конец закреплен жестко, верхний — шар­нирно, концы могут сближаться (г); 5) нижний конец закреплен жестко,

верхний имеет «плавающую за­делку» (д).Заметим, что чем меньше , тем больше критиче­ская сила, а следовательно, и до­пускаемая сжимающая нагрузка. Например, сжимающая нагрузка стержня, жестко защемленного обоими концами ( = 0,5), может быть в 16 раз больше нагрузки стержня, защемленного одним концом ( = 2).

Вывод формулы Эйлера основан на законе Гука, кото­рый справедлив только до пре-

Перепишем формулу для так:

дела пропорциональности. Поэтому формулой Эйлера можно пользовать­ся не всегда. Для определения пределов применимости форму­лы Эйлера определим критическое напряжение , т.е. напряжение, ко­торое возникает в поперечном сечении площадью А стержня при дости­жении

критической силы:

Введем понятие гибкости стержня . Это безраз­мерная величина, характеризующая размеры стержня и способ закрепле­ния его концов. Окончательно получаем:

Формулу Эйлера можно применять только при выполнении условия

где _пц — предел пропорциональности материала стержня. Следователь­но, должно быть

Величину, стоящую в правой части неравенства, называют пре­дельной гибкостью. Предельная гибкость зависит только от физико-механических свойств материала стержня.

Условие применимости формулы Эйлера можно записать так:

т. е. формула Эйлера применима лишь в тех случаях, когда гибкость стержня больше или равна предельной гибкости.

Вычислим значение _пред для низкоуглеродистой стали Ст3, для ко­торой _пц = 200 МПа, а Е = 2 10⁵ МПа:

Для стержней из низкоуглеродистой стали формула Эйлера приме­нима, если их гибкость 100.

Аналогично можно вычислить значения предельной гибкости для других материалов. В частности, для чугуна _пред = 80; для дерева (сосна) _пред =110.

В тех случаях, когда гиб­кость стержней меньше пре­дельной, формула Эйлера ста­новится неприменимой и при расчетах пользуются эмпири­ческой формулой Ясин­ского

где а и b — коэффициенты, зави­сящие от материала и опреде­ляемые по таблицам справочни­ков. В частности, для СтЗ при гибкостях = 40...100 можно принимать

а =310 МПа, b= 1,14 МПа. При гибкостях < 40 стержни можно рассчитывать на сжатие, т.е. по формуле

Итак, при малых значениях ( < 40) стержни из низкоуглеродистой стали рассчитывают на простое сжатие; при средних значениях (40 < 100) расчет ведут по формуле Ясинского, а при больших ( 100) — по фор­муле Эйлера. График зависимости критического напряжения от гибкости для стержней из низкоуглеродистой стали изображен на рис. 26.3.