Вывод приближенной формулы для определения удельного заряда электрона

Удельным зарядом электрона называется отношение заряда электрона к его массе e/m_e.

Получим формулу для расчета зависимости анодного тока от напряжения для диода с плоскопараллельными электродами, рассматривая диод как конденсатор, емкость которого:

(1)

где e_o — абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума, S и d— площадь пластин и расстояние между пластинами конденсатора соответственно.

Если катод нагрет до определенной температуры, то эмитированные им электроны устремляются к аноду, создавая ток:

(2)

(где q — заряд между катодом и анодом, t— время пролета электрона от катода к аноду), так как за время t все электроны, находящиеся между катодом и анодом, попадут на анод.

По определению, заряд, находящийся на обкладках плоского конденсатора, пропорционален напряжению на обкладках конденсатора U:

или

(4)

Тогда с учетом уравнения (4) уравнение (2) преобразуется:

(5)

Умножив числитель и знаменатель (5) на d, получим:

(6)

где d / t — средняя скорость движения электронов (V_ср).

Если считать движение электронов равноускоренным и пренебречь их начальной скоростью, то можно записать:

(7)

где V — конечная скорость электрона, достигшего анода.

Из закона сохранения энергии найдем скорость V:

	(8),	(9)

где e – модуль заряда электрона, m_e – масса электрона.

Подставив в уравнение (6) значение конечной скорости из (9), с учетом условия (7) получим зависимость между током и напряжением:

(10)

Точное выражение, с учетом изменения напряженности поля от катода к аноду, имеет вид:

(11)

Эта формула носит название уравнения Богуславского — Ленгмюра (или закон трёх вторых).