Сопротивление материалов при инерционной и ударной нагрузке

Расчеты при инерционной нагрузке.Расчеты с учетом инерцион­ных нагрузок ведутся известным из теоретической механики методом кинетостатики, основанном на принципе Даламбера. Согласно этому принципу все активные и реактивные силы, приложенные к телу, вместе с силами инерции образуют систему взаимно уравновешенных сил, удовле­творяющую всем условиям равновесия. Таким образом, задачи динамики и сопромата решаются методами статики.

В качестве примера рассмотрим расчет тонкостенного кольца, рав­номерно вращающегося в своей плоскости с угловой скоростью (рис. 25.5, а). Полученная в результате расчета формула напряжений использу­ется при расчете ободов маховиков и напряжений в ремнях ременных передач.

При равномерном вращении нормальное ускорение любой точки

кольца а_п = v²/R = ²R, где v — окружная скорость, R — средний радиус кольца. Касательное ускорение а = 0, так как = const.

Применяя принцип Даламбера, приложим к каждому элементу коль­ца центробежную силу инерции. Эти силы распределены равномерно по окружности кольца и направлены по радиусу от центра. На единицу длины окружности кольца при­ходится сила инерции

q^ин=m_la_n,

где m₁= рА — масса единицы дуги кольца; А — площадь поперечного сечения; р — плотность материала кольца.

Подставляя значения, получаем

q^ин =pAv²/R.

Определим внутренние силы, возникаю­щие в поперечных сечениях кольца, для чего рассечем его по диаметру и рассмотрим рав­новесие оставленной части (рис. 25.5, б).

Поскольку кольцо тонкое, можно предпо-

ложить, что нормальные напряжения распределены по его поперечному сече­нию равномерно, следовательно, кольцо работает на растяжение.

Определим продольные силы N , возникающие в поперечных сече­ниях. Для этого спроецируем все силы, действующие на полукольцо на ось у.На элемент кольца, соответствующий элементарному центральному углу dcp, приходится элементарная сила инерции , равная

Проекция этой силы на ось у равна произведению cos . По­скольку каждая из элементарных сил инерции направлена по радиусу и, следовательно, наклонена к оси у под разными углами, необходимо со­ставлять уравнения равновесия в интегральной форме (угол изменяется от - /2 до /2):

Отсюда

или

Вычислим нормальное напряжение в поперечном сечении кольца:

Отметим, что напряжения не зависят от площади поперечного сече­ния кольца и пропорциональны квадрату окружной скорости.

Запишем условие прочности:

отсюда определим допускаемую окружную скорость:

Вычислим допускаемую окружную скорость, если кольцо изготовле­но из стали плотностью = 0,8 10⁴ кг/ м³, допускаемое напряжение при растяжении [ _р] = 160 МПа. Тогда

Расчеты при ударной нагрузке.Ударом называется совокуп­ность явлений, возникающих при столкновении двух твердых тел. Удар может быть упругим и неупругим; в последнем случае ударяю-

щее тело не отскакивает от ударяемой упругой систе­мы, а продолжает двигаться вместе с ней. При ударе за очень малый промежуток времени (доли секунды) про­исходит резкое изменение относительной скорости со­ударяющихся тел, в результате чего возникают значи­тельные ударные или мгновенные силы.

Ударные нагрузки имеют в технике широкое при­менение, например, при ковке, штамповке и чеканке металла, забивке костылей, гвоздей и свай, в вибротех­нике. Сопротивление материалов при ударной нагрузке существенно отличается от поведения материала при статическом нагружении.

При рассмотрении примера действия ударной на­грузки будем считать, что напряжения не превышают предел пропорциональности, т.е. подчиняются закону Гука, а удар будем полагать абсолютно неупругим.

Рассмотрим напряжения и деформации при осевом ударе стержня постоянного сечения (рис. 25.6). Груз G падает с высоты h на недеформи-рующийся диск, укрепленный на конце стержня длиной l. Работа, произ­водимая грузом G при падении, равна потенциальной энергии U дефор­мации стержня:

где Е — модуль упругости материала стержня; l_д— его динамическое удлинение; А — площадь поперечного сечения стержня. Полученное выражение перепишем так:

(второй корень не определяется, так как он дает отрицательное значение для l_д).

Выражение для l_д преобразуем к виду

Введем обозначение

где k_д— коэффициент динамичности. Тогда

То есть наибольшее перемещение, вызываемое действием ударной на­грузки, равно произведению коэффициента динамичности на перемещение от статической нагрузки (в данном случае силы тяжести падающего груза).

На основании линейной зависимости (по закону Гука) между силами и перемещениями можно записать

где — динамическое напряжение.

Определение перемещений и напряжений при ударе сводится, таким образом, к определению перемещений и напряжений, вызванных статиче­ски приложенной силой, равной силе тяжести падающего груза, и вычис­лению коэффициента динамичности.

Заметим, что полученные формулы верны как для случая продольного (осевого) удара по стержню, так и для случая поперечного удара по балке.

Рассмотрим случай внезапного приложения нагрузки, что равно­сильно действию груза, падающего с высоты h = 0. Тогда из формулы для определения коэффициента динамичности следует, что k_д= 2 , вследствие чего получаем l_д = 2 l_ст и _д = 2 _ст , т.е. перемещения и напряжения в результате действия внезапно приложенной силы вдвое больше, чем при статическом действии той же силы.

Из формулы для определения коэффициента динамичности видно, что с увеличением l_ст (т.е. уменьшением жесткости стержня) k_думень­шается. Поэтому в технике для смягчения ударов применяют пружины и рессоры — детали, имеющие малую жесткость (большую податливость).

Глава 26

ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ

Общие сведения

Продольным изгибом называется изгиб первоначально прямолиней­ного стержня вследствие потери устойчивости под действием цен­трально приложенных продольных сжимающих сил. Продольный изгиб

возникает при достижении сжимающими силами и напряжениями критического значения.

Расчеты на прочность и жесткость, приведен­ные в предыдущих главах, делались в предположе­нии, что при деформации конструкции между внешними нагрузками и вызываемыми ими внут­ренними силами существует устойчивая форма равновесия, при которой малым возмущающим воздействиям соответствуют малые отклонения конструкции от первоначальной формы. Нагрузки, при превышении которых происходит потеря устойчивости (критическое состояние), на­зывают критическими. Опасность потери устойчивости особенно велика для тонкостенных конструкций, стержней, пластинок и оболочек.

Рассмотрим тонкий стальной стержень, длина которого значительно больше поперечных размеров, сжимаемый силой F,немного большей критической силы F_кр(рис. 26.1).

Применяя метод сечений, убеждаемся, что в результате искривления оси в поперечных сечениях стержня возникают два внутренних силовых фактора — продольная сила N = F иизгибающий момент М_и.

Таким образом, искривленный стержень испытывает сочетание де­формаций центрального сжатия и изгиба.

При сжимающих силах, даже немного превышающих критическую силу, напряжения изгиба могут непосредственно угрожать прочности конструкции. Поэтому критическое состояние конструкции считается недопустимым.

Для обеспечения устойчивости необходимо, чтобы действующая на стержень сжимающая сила F была меньше критической F_кр.

Обозначим допускаемую сжимающую силу [F],тогда

где [s_y] — допускаемый коэффициент запаса устойчивости.

Очевидно, что устойчивость стержня обеспечена, если [s_y] > 1. Зна­чение коэффициента запаса устойчивости зависит от назначения стержня и его материала. Обычно для сталей [s_y] = 1,8...3; для чугунов [s_y]= 5...5,5; для дерева [s_y]= 2,8...3,2.