Биномиальное распределение и асимптотические формулы
Пример 1. По мишени производят четыре независимых выстрела. Вероятность попасть в мишень при каждом выстреле равна 0,8.
Для СВ X – числа возможных попаданий в мишень, составить ряд распределения и найти M(X), D(X), s(X).
Решение. Четыре независимых выстрела по мишени можно рассматривать как последовательность из четырех независимых испытаний, в каждом из которых событие А (попадание в мишень при одном выстреле) может появиться с вероятностью 0,8.
Поэтому СВ X имеет биномиальное распределение с параметрами
p = 0,8 и n = 4. Используя формулу (1.33) где
q = 1 – p, получим
Поверка: å pi = 1.
X | |||||
P | 0,0016 | 0,0256 | 0,1536 | 0,4096 | 0,4096 |
Найдем числовые характеристики СВ X, распределенной по биномиальному закону.
M(X) = n × p = 4 × 0,8 = 3,2
D(X) = n × p × q = 4 × 0,8 × 0,2 = 0,64
Пример 2. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,001. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно два элемента.
Пусть СВ X – число элементов, которые могут отказать за время Т. Так как p мало, а n достаточно велико, то искомую вероятность вычислим приближенно по формуле Пуассона (1.41)
где l = n × p = 1000 × 0,001 = 1.
Пример 3. Вероятность выхода из строя изделия за время испытания на надежность p = 0,05. Какова вероятность того, что за время испытаний 100 изделий выйдут из строя:
1) не менее 4 изделий,
2) ровно 5 изделий.
1) По условию n = 100, p = 0,05, q = 1 – p = 0,95.
Решение. Воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа
Значения функции Лапласа возьмем из таблицы 2.
2) Воспользуемся локальной теоремой Лапласа (1.35)
где
Из таблицы находим значение функции
j(0) = 0,3989.
Дата добавления: 2021-12-14; просмотров: 404;