Приближение линейными сплайнами

Пусть m = 1 .

Тогда общее число Q свободных параметров равно 2N .

Поставим вопрос о построении сплайна совпадающего с функцией f(x) в точках x₀, x₁,…, x_n .

Получим систему уравнений

Эта система распадается на системы уравнений относительно коэффициентов отдельных многочленов

,

отсюда находим

Многочлен P_n1(x) является многократно рассматривавшимся интерполяционным многочленом первой степени с узлами интерполяции x_n-1, x_n.

Широкое распространение сплайнов во многом вызвано тем, что они являются в определенном смысле наиболее гладкими функциями среди функций, принимающих заданные значения. Сплайны степени выше первой в случае гладкой f(x) хорошо приближают не только саму функцию, но и ее производные.

ЛЕКЦИЯ 9. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Известно, что не для всякой функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих случаях вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница затруднительно и применяются различные методы приближенного вычисления определенных интегралов. Пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла, рассмотрим три приближенных формулы, с помощью которых численное интегрирование проводится с любой степенью точности.

Постановка задачи

Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция y = f(x). Требуется вычислить приближенное значение определенного интеграла

(9.1)

Если f(x) ≥ 0 при a ≤ х ≤ b,то интервал будет численно равен площади так называемой криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = f(x), прямыми х = a, х = b и осью Ох (рис.9.1).

Воспользуемся этой интерпретацией определенного интеграла.

Разобьем отрезок [a,b] точками a = х₀, х₁, ..., х_n = b на n равных частей длины , так что x_i = a + ih, .

Величина h называется шагом интегрирования. Обозначим через у₀, у₁, …, у_n значения функции y = f(x) в точках х₀ , х₁...., х_n соответственно, то есть y_i = f(x_i), .