Первая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции
Вычисление значений функции для значений аргумента, лежащих в начале таблицы, удобно проводить, пользуясь первой интерполяционной формулой Ньютона.
Пусть функция f(x) задана значениями ; ; …; в равноотстоящих узлах интерполяции , , …, и требуется построить интерполяционный многочлен степени n такой, что ; ; …; .
В силу единственности многочлена степени n, построенного по n + 1 значению функции f(x), многочлен Рn(x) является разновидностью записи интерполяционного многочлена и совпадает с Лагранжа.
Будем искать f(x) в виде
. (7.3)
В этом выражении неизвестны коэффициенты а0, а1, а2, …, аn .
Найдем а0, положив х = х0, тогда
.
Чтобы найти коэффициент а1, составим первую конечную разность для многочлена Рn(x) в точке х. Согласно определению конечной разности имеем
.
Проведя подстановку, получим
Вычислим первую конечную разность многочлена Рn(x) в точке х0. Здесь так же все члены, кроме первого, обратятся в ноль и, следовательно,
,
но
; ; .
Чтобы определить коэффициент а2, составим конечную разность второго порядка:
.
После преобразований получим
Полагаем х = х0: тогда все члены, кроме первого, опять обратятся в ноль и
, .
Вычисляя конечные разности более высоких порядков и полагая х = х0, получим общую формулу для получения коэффициентов
.
Подставив найденные значения коэффициентов аi в выражение (7.3), получим первую интерполяционную формулу Ньютона.
(7.4)
На практике часто используют формулу Ньютона в другом виде:
,
где , h – шаг интерполирования и q – число шагов.
Если n = 1, то получим формулу линейного интерполирования
.
При n = 2 получим формулу параболического или квадратичного интерполирования
.
Эти формулы удобно применять в начале таблицы, когда q мало по абсолютной величине.
Дата добавления: 2021-09-07; просмотров: 332;