Формула прямоугольников
Заменим площадь криволинейной трапеции aАВb (рис. 9.2), численно равную интегралу (9.1), на сумму площадей левосторонних или правосторонних прямоугольников, то есть на y0h + y1h + … + yn-1 h или y1h + y2h + … + ynh. Тогда интеграл (9.1) приближенно выражается любой из формул:
, (9.2)
(9.2')
Это формулы левосторонних и правосторонних прямоугольников.
Чем больше число n, тем меньше ошибка, совершаемая при вычислении на отрезке [a,b], то и для погрешности Rn формул прямоугольников справедлива следующая оценка:
(9.3)
где . Если задана точность вычислений ε, то из (3) можно найти число разбиений n отрезка [a,b], которое обеспечит эту точность
. (9.4)
9.3. Формула трапеций.Естественно ожидать более точное значение интеграла (9.1), если данную кривую y = f(x) заменить не ступенчатой, как это было в формуле прямоугольников, а вписанной ломаной (рис. 9.3). Тогда площадь криволинейной трапеции aABb заменится суммой площадей прямолинейных трапеций, ограниченных сверху хордами АА1, А1А2, …, Аn-1B. Так как площади этих трапеций соответственно равны
то для интеграла (1) получаем приближенную формулу
(9.5)
Это формула трапеций. Число n произвольно, но чем оно больше, тем с большей точностью будет получено значение интеграла (9.1). Если f"(x) существует и ограничена на отрезке [a,b], то погрешность Rn формулы (9.5) оценивается неравенством
, (9.6)
где . Если задана точность вычислений ε, то из (9.6) можно найти число разбиений n отрезка [a,b], обеспечивающее эту точность
. (9.7)
9.4. Формула парабол (Формула Симпсона).Разделим отрезок [a, b] на четное число равных частей n = 2m. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [х0, х1] и [х1, х2] и ограниченной заданной кривой y = f(x), заменим площадью параболической трапеции, которая ограничена параболой, проходящей через три точки М0(х0, у0), М1(х1, у1), М2(х2, у2), и имеющей ось, параллельную оси Оу (рис. 9.4). Аналогичным образом поступим и для других пар отрезков [х2, х3], [х3, х4], …, [х2m-2, х2m-1], [х2m-1, х2m]. Площади построенных параболических трапеций соответственно равны
, , …, ,
а их сумма даст приближенное значение интеграла (9.1)
(9.8)
Это формула Симпсона. Здесь число 2m точек деления отрезка [a,b] произвольно, но чем больше это число, тем точнее значение интеграла (9.1). Если f"(x) существует и ограничена на отрезке [a,b], то для погрешности Rnформулы (9.8) справедлива следующая оценка:
, (9.9)
где . Если задана точность вычислений ε, то из (9.9) можно найти число разбиений 2m = n отрезка [a,b], которое обеспечит эту точность
. (9.10)
ЗАМЕЧАНИЕ. В связи с трудностями оценки четвертой производной подынтегральной функции f(x), погрешность Rn совершаемую при вычислении определенного интеграла (9.1), по формуле (9.8), можно оценить по правилу Рунге
,
где Jn и J2n – приближенное значение интеграла, вычисленное по формуле парабол, соответственно с шагом h и . За приближенное значение J интеграла (9.1), вычисленное по формуле парабол с поправкой Рунге, принимают
.
ЛЕКЦИЯ 10. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Невелико число типов дифференциальных уравнений, допускающих решение в квадратурах (сведение к дифференциальному уравнению с разделяющими переменными с последующим интегрированием). Многообразие видов уравнений, встречающихся при решении физических и технических вопросов, привело к созданию большого числа методов приближенного решения дифференциальных уравнений, основанных на самых различных идеях. Все эти методы в зависимости от формы, в которой они представляют решение, можно разделить на три основные группы:
1. Аналитические методы, дающие приближенное решение дифференциального уравнения в виде аналитического выражения;
2. Графические методы, дающие приближенное решение в виде графиков.
3. Численные методы, дающие приближенное решение в виде таблицы.
Остановимся на численных методах.
Дата добавления: 2021-09-07; просмотров: 311;