ВОЗРАСТНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

, (8.78)

и что произведение слабо зависит от летаргии (это значительно менее жесткое ограничение, чем предположение о слабой энергетической зависимости непосредственно величины ):

. (8.79)

Указанные условия предполагают выполнение неравенств

, или , (8.80)

(очень слабое поглощение), поскольку присутствие в замедлителе поглощающих нейтроны примесей существенно усиливает пространственную и энергетическую зависимость функции распределения, а также ее угловую анизотропию.

Дифференциальное уравнение (8.77) можно упростить подстановкой

(8.81)

и введением вместо летаргии новой переменной

. (8.82)

В этом случае оно принимает вид

, (8.83)

т. е. совпадает с уравнением теплопроводности, в котором роль времени играет переменная (при этом коэффициент температуропроводности равен единице). Величина имеет размерность площади и называется «фермиевским возрастом» нейтронов, а уравнение (8.83) - «уравнением возраста».

Решение уравнения (8.83) имеет следующий вид:

, (8.84)

где

. (8.85)

Решение уравнения (8.83) получено в предположении слабой зависимости от координат

или (8.86)

и слабой зависимости произведения от летаргии (это менее жесткое ограничение, чем предположение о слабой энергетической зависимости непосредственно ):

. (8.87)

Указанные условия предполагают в свою очередь выполнение неравенства g(u)<<l или , поскольку присутствие поглотителей нейтронов существенно усиливает пространственную, угловую и энергетическую зависимость функции распределения. По этой причине выражение (21) применимо для описания энергетического спектра нейтронов, замедленных лишь в слабо поглощающих средах.

Подставляя (8.84) в (8.86), находим

, (8.88)

где — средний квадрат смещения нейтрона в процессе замедления до заданной энергии. Следовательно, выражение (8.84) справедливо на малых расстояниях от источника. Из условия (8.87) следует , т. е. заданное значение летаргии должно достигаться в результате большого числа столкновений . При этом условии анализ результата возрастного приближения как частного случая строгого решения уравнения переноса дает более точную оценку границ применимости. Выражение (21) справедливо до расстояний порядка , где — максимальная на интервале замедления полная длина свободного пробега нейтронов.

«Исправление» возрастного приближения

Из выражений (8.86) и (8.88) видно, что выражение (8.84) справедливо лишь на малых расстояниях от источника нейтронов, особенно для сред повышенного водородсодержания. На больших расстояниях оно дает качественно неверную пространственную зависимость. Это обусловлено не только допущениями возрастного приближения, но и некорректностью представления о «точечности» источника нейтронов с начальной энергией Е₀.

Нейтроны, испускаемые точечным источником, сохраняют начальную энергию до первого столкновения с ядрами замедлителя, проходя в веществе путь, равный среднему свободному пробегу , вследствие чего они распределены в пространстве по некоторому закону (закону распределения нерассеянного излучения). Пространственно-угловое распределение нерассеянных нейтронов, сохранивших в замедлителе свою энергию, описывается уравнением переноса (8.51), в котором отсутствует интеграл столкновений :

. (8.89)

Решение этого уравнения относительно нулевого углового момента имеет вид

и определяет пространственное распределение замедленных нейтронов на больших расстояниях:

, (8.90)

где - «фактор накопления» замедленных нейтронов.

На «средних» расстояниях от источника пространственное распределение замедленных нейтронов описывается значительно более сложно. Согласно общей теории, в этой области функция распределения задается параметрически [ ].

Для изучения физических закономерностей вне области применимости возрастного приближения применяется «одногрупповое диффузионное приближение» (см. ниже).

В возрастном приближении свойства вещества описываются одним параметром — фермиевским возрастом τ₀. Чем сильнее замедлитель, чем больше его водородосодержание[2], тем меньше величина τ₀. Выражение (8.84) показывает, что зависимость показаний детектора надтепловых нейтронов от водородосодержания среды с изменением расстояния до источника (размера зонда) изменяется.

На малых расстояниях, например, на «нулевом» зонде

N₀(m) ~ τ₀(m)^-3/2, (8.91)

зависимость от m возрастающая. На больших расстояниях r зависимость от m определяется экспонентой

N₀(m) ~ exp[- r²/4τ₀(m)], (8.92)

и зависимость становится убывающей (Рис.7.14).

Рис.8.1. Эффект инверсии зависимости показаний ННМ_нт от водородосодержа­ния с изменением размера зонда (по Дж. Титтмену).

В геофизике переменное водоро­до­­­содер­жание является изучаемой величиной (аргументом), связанной с ФЕС коллекторов нефти и газа, а расстояние между источником и детектором — управляемым параме­тром. Изменение (обращение) функции с растущей на убывающую с измене­ни­ем параметра называется инверсией или инверсионным эффектом. Зона расстояний, на которых зависимости N₀(m) обладают минимальной чувстви­тельностью к m, является инверсионной, и делит зависимости N₀(m) и соответствующие зонды на доинверсионные (растущие по m показания) и заинверсионные (убывающие по m показания).

«Теоретические» и феноменологические уравнения поля

Уравнение переноса описывает закономерности переноса вещества в различных его формах. Закон Фика для диффундирующих частиц (в частности, молекул, нейтронов, гамма-квантов) является одним из основных законов физической кинетики. Его формулировка:

, (8.93)

означает, что поток частиц в единицу временипропорционален плотности (концентрации) частиц N и направлен в сторону, противоположную градиенту; коэффициент диффузии Д является коэффициентом пропорциональности (Д = Dv). Этот закон был установлен немецким физиологом А.Фиком (1855) экспериментально.

Приведенный выше вывод этого закона является теоретическим, устанавливающим одновременно ограниченность области его применимости. Можно привести ряд аналогов этого закона, установленных феноменологически для переноса вещества в различных его формах.

Для электрического тока (движения электрических зарядов) аналогом закона Фика является законом Ома (в дифференциальной форме):

, (8.94)

где j — плотность тока (сила тока, приходящегося на единицу поперечного сечения проводника), s – проводимость, U — потенциал, следует, что коэффициент диффузии нейтронов играет роль «нейтронной проводимости» вещества: чем больше коэффициент диффузии, тем меньше «сопротивление» замедлителя прохождению нейтронов данной энергии.

Для теплового поля тепловой поток определяется законом Фурье

= – l grad T,(8.95)

где – вектор плотности теплового потока, l –коэффициент теплопроводности, для изотропной среды являющийся скаляром.

Для жидкости, фильтрующейся в пористой среде, аналогом (8.93) является закон Дарси:

, (8.96)

где – количество жидкости с динамической вязкостью m, прошедшей через единицу поверхности среды в единицу време­ни; k_пр – коэффициент проницаемости среды; P – давление.

Во всех рассмотренных примерах перенос вещества обусловлен наличием градиентов (концентрации, электрических потенциалов, температуры, давления).