Аппроксимация производных

Для аппроксимации первой производной можно воспользоваться формулами:

– правая разностная производная,

– левая разностная производная,

– центральная разностная производная.

Существует множество способов аппроксимации производной, которые следуют из определения производной:

.

На основе формул для разностной аппроксимации первой производной можно построить разностную аппроксимацию второй производной:

(6.3)

Аналогично можно получить аппроксимации производных более высокого порядка.

Определение. Погрешностью аппроксимации -ой производной называется разность .

Для определения порядка аппроксимации используется разложение в ряд Тейлора.

Рассмотрим правую разностную аппроксимацию первой производной:

Т.е. правая разностная производная имеет первый по порядок аппроксимации. Аналогичные оценки можно сделать для левой разностной производной.

Центральная разностная производная имеет второй порядок аппроксимации.

Аппроксимация второй производной по формуле (6.3) также имеет второй порядок аппроксимации.

Для того чтобы аппроксимировать дифференциальное уравнение, необходимо в нем заменить все производные их аппроксимациями. Рассмотрим задачу (6.1), (6.2) и заменим в (6.1) производные:

.

В результате получим:

(6.4)

Порядок аппроксимации исходной задачи равен 2, т.к. вторая и первая производные аппроксимированы с порядком 2, а остальные – точно.

Итак, вместо дифференциальных уравнений (6.1), (6.2) получена система линейных уравнений вида

(6.5)

для определения в узлах сетки. Матрица данной системы имеет вид:

Данная матрица является трехдиагональной, т.е. все ненулевые элементы расположены на главной диагонали и двух прилегающих к ней диагоналях. Для решения таких СЛАУ имеется экономичный метод прогонки (см. с. 31-32). Решая полученную систему уравнений, мы получим решение исходной задачи.

Для краевой задачи (6.1), (6.2) имеем:

Коэффициенты СЛАУ определяются формулами:

Прямой этап метода прогонки:

, , i=2, 3, …n.

Обратный этап метода прогонки:

.

Условие устойчивости (условие диагонального преобладания) тогда имеет вид:

.

Пусть . Тогда и, следовательно, , , т.е. .

Тогда условие устойчивости имеет вид и, как можно видеть, справедливо всегда.

ПРИМЕР 6.1. Найти решение краевой задачи:

Выпишем разностную схему

Условие устойчивости примет вид

.

Пусть . Тогда число шагов .

Или

Решим СЛАУ методом прогонки. Коэффициенты СЛАУ:

Прямой ход. Из первого уравнения находим:

.

Сравнивая это выражение с основной формулой, видим, что

.

Из второго уравнения

Аналогично для третьего и четвертого уравнений:

Обратный ход начинаем с известного значения функции

Применяем прогоночное соотношение

Вычисления оформим в виде таблицы:

				0.2	0.6863	-0.0039	0.4701
				0.4	0.8598	-0.0113	0.6907
				0.6	0.9186	-0.0202	0.8164
				0.8	0.9403	-0.0296	0.9107
		-1

Рассмотрим задачу с граничные условия более общего вида.

ПРИМЕР 6.2. Решить ОДУ 2-го порядка

,

с краевыми условиями:

В этом случае при построении разностной схемы необходимо еще аппроксимировать и краевые условия. Аппроксимация в общем виде выглядит так:

.

В результате получим разностную схему:

Или

Мы получили СЛАУ типа (6.5) с трехдиагональной матрицей, решение которой также можно найти методом прогонки.