Численные методы решения систем ОДУ первого порядка


 

Рассмотренные выше методы решения задачи Коши для одного уравнения могут быть использованы также для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка и уравнений высших порядков.

Пусть задана задача коши для системы двух уравнений первого порядка:

Обобщим формулы явного метода Эйлера (5.5):

,

модифицированного метода Эйлера (5.7):

,

схемы Рунге-Кутта четвертого порядка точности (5.10):

Вычисления приближенного решения проводятся путем последовательного применения этих формул.

 

Рассмотрим задачу Коши для уравнения второго порядка

Введем вторую неизвестную функцию . Тогда исходная задача Коши для уравнения сводится к следующей задаче для системы двух ОДУ первого порядка:

,

которая решается с помощью методов, описанных выше.

ПРИМЕР 5.2. Найти решение задачи Коши:

на отрезке .

Точное решение: .

Проверим, что точное решение удовлетворяет данному дифференциальному уравнению. Действительно:

Решим задачу явным методом Эйлера (5.5), модифицированным методом Эйлера (5.7) и методом Рунге-Кутты (5.10) на сетке с шагом .

Введем функцию и получим следующую задачу Коши для системы двух ОДУ первого порядка:

.

Используем формулы явного метода Эйлера:

,

модифицированного метода Эйлера:

.

четырехэтапного метода Рунге – Кутты:

Решение оформим в виде таблиц.

 

Схема Эйлера:

 

Точное решение Погрешность
0.2 -0.2 0.983685 0.016315
0.4 0.96 -0.28 0.947216 0.012784
0.6 0.904 -0.28 0.905009 0.001009
0.8 0.848 -0.2288 0.866913 0.018913
0.80224 -0.14688 0.839397 0.037157

 

Модифицированный метод Эйлера:

Точ.реш Погреш.
0.2 -0.2 -0.18 0.983685 0.016315
0.4 0.964 -0.268 0.962 -0.244 0.947216 0.014784
0.6 0.9132 -0.2588 0.9108 -0.2342 0.905009 0.005791
0.8 0.86396 -0.20268 0.8615 -0.178 0.866913 0.005413
0.8259 -0.1191 0.823432 -0.09441 0.839397 0.015965

 

Схема Рунге-Кутта:

Погреш.
       
0.2 0.9837 -0.146 -1 -0.15 -0.486 1.79E-05
0.4 0.9472 -0.207 -0.146 -0.491 -0.209 -0.13 2.76E-05
0.6 0.905 -0.207 -0.207 -0.134 -0.209 0.113 3.18E-05
0.8 0.8669 -0.168 -0.207 0.1097 -0.17 0.272 3.25E-05
0.8394 -0.104 -0.168 0.2695 -0.105 0.37 3.09E-05

 

Как можно видеть, максимальная погрешность, определяемая как разность между точным и рассчитанным значением функции , в методе Рунге-Кутта не превышает .



Дата добавления: 2021-09-07; просмотров: 320;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.008 сек.