Аппроксимация модели методом В. Я. Ротача

Рассмотрим аппроксимацию модели объекта в виде последовательного соединения апериодических звеньев и звена запаздывания с обобщенной передаточной функцией вида [12]:

(13)

где Т₁ и Т₂ – постоянные времени, – время запаздывания, n – порядок системы, k – коэффициент передачи объекта.

Критериями приближения модели к рассматриваемому реальному объекту принимаются требования совпадения переходных характеристик модели h_М(t) и реального объекта h(t) в точках t=0, t→∞, а также вточке перегиба t_i, которая определяется из условия:

Причем в точке перегиба t_i указанные характеристики должны иметь и одинаковый наклон. Сформулированные требования предс­тавим в виде системы уравнений:

(14)

Для определения производной переходной характеристики h(t) вточке, где эта характеристика имеет максимальный наклон проводят касательную и находят длину отрезка Т_о (рис. 27).

Учитывая введенные на рис. 29 обозначения критерии приближения модели к рассматриваемому объекту (14) запишем следующим образом:

(15)

где .

Рисунок 29 – Аппроксимация промышленного объекта упрощенными моделями с использованием метода В. Я. Ротача: 1 – экспериментальная переходная характеристика объекта; 2 – переходная характеристика модели (первого порядка) объекта;
3 – переходная характеристика модели (второго порядка) объекта

Рассмотрим аппроксимацию технологического объекта математическими моделями первого и второго порядка.

1. Аппроксимация объекта моделью, состоящей из статического апериоди­ческого звена первого порядка извена запаздывания:

.

Значение коэффициента передачи звена равна установившемуся значению переходной функции: . Два последних требования из системы уравнений (15) запишем, как:

(16)

Из выражения (16) рассчитаем постоянную времени Т₁ модели объекта и момент времени, при котором выполняется условие аппроксимации:

.

Затем, по известному значению t_i, определяется время запаздывания:

Переходная характеристика h_М(t) модели изображена на рис. 29 пунктирной кривой (2).

На практике, в качестве постоянной времени T₁ принимают величину Т₀, а время запаздывания τ_ЗАП принимают равным τ_ЗАП3. Подобное упрощение допускается лишь при малых значениях b (b<0.05).

2. Аппроксимация объекта моделью, состоящей из последовательно соединенных двух апериоди­ческих звеньев и звена запаздывания:

.

Переходная характеристика без учета звена запаздывания может быть определена из таблицы преобразования Лапласа следующим образом:

(17)

Выражение для первой и второй производных переходной функции по времени получим как:

(18)

(19)

Для того, чтобы определить координаты точки перегиба i приравняем к нулю выражение (19) для второй производной переходной функции:

(20)

Выразив из уравнения (20) и подставив в формулы (17) и (18), получим систему уравнений вида:

(21)

Введем безразмерные переменные и и перепишем формулы (20) и (21) как:

(22)

Решая систему трансцендентных уравнений (22) при известных значениях Т₀ и b, опре­делим параметры модели T₁, T₂ и t_i. Если при этом окажется, что найденная координата аппроксимирующей модели t_i меньше значения t_i, рассчитанного по графику переходной характеристики, то следует ввести время запаздывания:

.

Аппроксимация объекта моделью второго порядка допустима лишь при b<0.265. Это предельное значение b для апериодического звена второго порядка, которое наступает при T₁=T₂.

Вычисления параметров моделей для любого порядка n производятся аналогично. На практике оказывается достаточным выбирать n<4, что соответствует b<0.371. Выше приведенные расчеты па­раметров модели удобно проводить с помощью номограммы (рис. 30).

Рисунок 30 – Номограмма для определения параметров объектов [14]

Порядок нахождения параметров модели с использованием номограммы состоит в следующем:

1. По экспериментальной переходной характеристике определяются значения и .

2. В зависимости от значения выбирается порядок модели n.

3. По номограмме, для полученных b и n, определяются отношения , знание которых позволяет вычислить параметры модели: T₁, Т₂ и t_i, а также .

Определим параметры модели исследуемого технологического объекта – ресивера. Исходные данные для выбранной точки перегиба по переходной характеристике (рис. 26) с координатами следующие:

К=1.1, (соответствует BD) .

По номограмме (рис. 30) для уровня b=0.327 выбираем кривую соответствующую минимальному порядку системы n=3, и соотношение параметров модели объекта:

, , .

Таким образом, передаточная функция модели технологического объекта запишется в виде:

Структурная схема технологического объекта управления с учетом принятой структуры и рассчитанных значений параметров показана на рис. 31.

Рисунок 31 – Структурная схема модели объекта, аппроксимированная по методу В.Я. Ротача

Рисунок 32 – Переходная характеристика модели ТОУ аппроксимированная по методу В. Я. Ротача

По переходной характеристике (рис.32), полученной для аппроксимированной модели объекта методом В.Я.Ротача

- время нарастания (Rise time) – 27,7 с;

- переходного процесса (Setting time) – 51,7с;

- установившееся значение выходной величины (Final value) – 1,1 с;

- пиковая амплитуда (Peak amplitude) – 1,1;

- перерегулирование (Overshoot) – 0%;

- статическая ошибка – 10%.

Для проведения сравнительного анализа адекватности расчетных моделей графики кривых разгона для моделей технологического объекта управления полученной в результате идентификации, а также аппроксимации представлены на рис. 33.

Рисунок 33 – Сравнительный анализ аппроксимированных моделей и модели, полученной в результате идентификации:

linsys1 – ; linsys2 – ; linsys3 –

Критерий приближения (по контрольным точкам) модели к рассматриваемому объекту выполняется как для диаграммы (linsys1), так и для диаграммы (linsys2). Поскольку порядок модели linsys2, полученной по переходной характеристике, ниже, чем в других моделях, что упростит дальнейшую настрой регулятора, то целесообразно в качестве расчетной использовать передаточную функцию вида:

.