Разложение N – мерного вектора

Множество векторов {v_k, k=1,2,…N} в N – мерном пространстве, где

(т.е. v_m v_n взаимно перпендикулярны и являются единичными), называется ортонормированным базисом.

Если все векторы взаимно перпендикулярны, то ни один из них нельзя выразить через другие векторы. Иначе говоря, они независимы.

Используя ортонормированный базис, можно представить N – мерный вектор в виде линейной комбинации базисных векторов.

В этой формуле, по аналогии с приведенной ранее, коэффициент C_k выражается как:

Коэффициент C_k показывает величину составляющей вектора f в направлении вектора v_k и выражается в виде скалярного произведения f и v_k

Разложение функции

Возникает вопрос, нельзя ли ввести ортонормированную систему в пространство функций так же, как она вводится для векторного пространства? Иначе говоря, нельзя ли ввести множество взаимно перпендикулярных единичных функций? Если это возможно, то рассматриваемую функцию можно выразить в виде линейной комбинации таких функций. То есть ее можно разложить на составляющие – функции, свойства которых известны заранее.

Введем ортонормированную систему функций

на отрезке [a,b]

Условие их ортонормированности:

С помощью ортонормированной системы функций функцию f(t) можно выразить следующим образом.

Из этого соотношения понятно, что коэффициент C_k выражает долю составляющей f_k(t) функции f(t). Мы уже знаем, что для вывода выражения C_k нужно взять скалярное произведение f(t) и f_k(t). Из предыдущих соотношений получим:

По определению системы ортонормированных функций, скалярное произведение всех комбинаций с равно нулю, поэтому в итоге в правой части равенства остается лишь C_k. Следовательно,

Разложение непрерывного сигнала в ряд Фурье на интервале [-π, π]

Возьмем систему функций

на отрезке , проверим, является ли она ортонормированной и вычислим коэффициенты разложения C_k. Для того, чтобы исследовать это, нужно проверить являются ли функции разложения попарно ортогональными:

Следовательно, 1 и sin nt ортогональны. Если , то

Используя формулу преобразования тригонометрических выражений

получим:

Т.е. sin mt и sin nt ( ) также взаимно ортогональны.

Из вышеизложенных результатов следует, что множество функций {1, sin t, sin 2t, …} образуют систему ортогональных функций. Однако норма каждой функции

не равна 1, а значит, функции не являются ортонормированными.

Если норма функции f(t) не равна 1, то создадим новую функцию f*(t):

Очевидно, что норма f*(t) равна 1. Подобная операция называется нормировкой системы функций. В нашем случае

поэтому, представляя исходную систему функций в новом виде:

получим множество функций, образующих систему ортонормированных функций. Аналогично можно показать, что ортонормированной является система функций

и .

Таким образом, любую непрерывную функцию f(t) можно разложить в ряд по тригонометрическим функциям (в ряд Фурье):

а коэффициенты разложения вычислить следующим образом:

Для упрощения выражения разложения введем замену переменных

Тогда разложение будет иметь вид:

, (1)

где

Выражение (1) можно привести к более простому и более информативному виду, где k-я гармоника будет представлена не двумя слагаемыми

a_kcos(kt) +b_ksin(kt), (2)

а одним. Для этого представим (2) в виде:

Из геометрической интерпретации рис. 2.3 видно, что величина гипотенузы треугольника равна a

С учетом этого можно записать:

т.к. из формул преобразования тригонометрических выражений

,

а разложение в ряд Фурье запишется как:

,

где ,

В результате разложение в ряд Фурье будет представлено в виде суммы синусоид с разными фазовыми сдвигами.

Множество C_k называют спектром амплитуд, множество – спектром фаз. Множество C_k² называют спектром мощности.

Пример спектра амплитуд дискретизированного гармонического сигнала, содержащего 4.2 периода при использовании 8 членов разложения приведен на рис. 2.4.

Примечание.

1. Не всякую функцию f(t) можно разложить в ряд Фурье. Функция f(t) должна удовлетворять условиям Дирихле.

Функция f(x) на отрезке [a,b] удовлетворяет условиям Дирихле, если:

a) f(x) на отрезке [a,b] непрерывна или имеет на этом отрезке конечное число разрывов 1-го рода. Разрыв 1-го рода – это разрыв, при котором существуют пределы функции в данной точке справа и слева. Пример функции f(x), соответствующей условию 1, приведён на рис.2.5.

b) в каждом интервале непрерывности f(x) монотонна[3], либо имеет на этом интервале конечное число точек экстремума. Пример функции f(x), соответствующей условию 2, приведён на рис.2.6.

	Рис.2.5. x1 – точка разрыва 1 – го рода , x2 – точка разрыва 2- го рода

Рис. 2.6.

2. Функции разложения должны удовлетворять не только условиям ортонормированности, но также полноты и замкнутости [9]. Система ортогональных функций называется замкнутой, если не существует непрерывной функции, не равной тождественно нулю и ортогональной ко всем функциям данной системы. Поэтому из набора замкнутой системы функций разложения

нельзя исключить ни одного элемента, т.к. это нарушило бы условие

замкнутости. Система ортогональных функций называется полной в промежутке [a,b], если любую непрерывную функцию можно аппроксимировать в среднем с любой степенью точности при помощи линейной комбинации функций [8]. Иными словами, какого бы ни было , всегда можно указать такое n в линейной комбинации функций:

,

что

Для полной системы функций имеет место соотношение

где f_n – коэффициенты Фурье функции f(x):

Условиям полноты и замкнутости удовлетворяют не только тригонометрические функции sin(kt) и cos(kt), но и ортогональные полиномы Лежандра, Лагерра, Якоби [8].

Разложение сигнала на систему ортогональных полиномов применяется в математической физике и квантовой механике с целью физической интерпретации происходящих сложных явлений как композиции более простых.

Разложение функции на интервале [-T/2,T/2]

До этого момента мы рассматривали функцию переменной t на отрезке [-p,p]. В случае периодического сигнала с периодом 2p мы брали этот интервал за основной. В общем случае периодического сигнала с периодом Т при разложе­нии в ряд Фурье мы должны использовать интервал [-Т/2, Т/2]. Если интервал [-p,p] расширить (или сократить) до интервала [-T/2, Т/2], то и период первой гармоники увеличится (или умень­шится) от 2 p до Т. Поскольку кратность этого преобразования рав­на (Т/2)p, то составляющие первой гармоники примут вид:

Для составляющих k-й гармоники можно записать:

Следовательно, если функцию f(t) разложить в ряд Фурье на ин­тервале [-Т/2, Т/2], получим:

Если обозначить угловую частоту через , то поскольку , последнее выражение можно записать и в таком виде:

В соотношении, определяющем коэффициенты Фурье на отрезке

произведем замену переменной

а также замену отрезка, на котором берется интеграл

Оставив функцию f(t) без изменения, получим

Аналогичным образом выводится следующее соотношение: