Примеры пространств сигналов

Пространство

Элементами множества являются в общем случае комплексные функции заданные на интервале конечном или бесконечном. Будем считать, что функции являются функциями с интегрируемым квадратом

Этот интеграл обычно трактуется как энергия сигнала, если принять, что - это ток или напряжение на сопротивлении

При этом является пространством с ограниченной энергией. Все физические сигналы имеют конечную энергию.

В скалярное произведение, норма и расстояние определяются соответственно:

Метрика называется среднеквадратичной метрикой и определяет среднеквадратичное отклонение сигнала от

Условие ортогональности двух векторов и в записывается в виде

Обобщенный ряд Фурье (1.2.13) в принимает вид

где

есть коэффициенты Фурье по системе {j_n}.

Пространство

Элементами множества являются последовательности чисел (в общем случае комплексные) удовлетворяющие условию

Такие последовательности называют также счётномерными векторами. В данном классе последовательностей вводят операции сложения векторов и умножения их на скаляр:

Скалярное произведение, норма и расстояние определяются соответственно

Эти соотношения определяют пространство которое можно рассматривать как координатную реализацию гильбертова пространства

Обратимся к формулам обобщенного ряда Фурье (1.2.13) – (1.2.16). Эти формулы устанавливают взаимно однозначное соответствие (изоморфизм) между сигналом и совокупностью его коэффициентов Фурье. Сигнал является элементом пространства а совокупность коэффициентов Фурье (счетномерный вектор) – элементом пространства Между пространствами и устанавливается изометрия, при которой сохраняется норма элементов пространств и (1.2.18).

Пространство

Ограничение размерности векторов до координат приводит к пространству которое является подпространством комплексного гильбертова пространства Характерно, что в существуют линейно независимых векторов Эти векторов называют базисом N-мерного пространства.

Разложение двумерного вектора

Возможность представления двумерного вектора через проекции на оси координат известно из геометрии и не требует доказательства. Каждую из проекций выражают через единичные вектора v₁иv_2.

f = C₁v₁+C₂v₂ (2.1)

Однозначное представление будет в том случае, если вектора v₁иv₂взаимно перпендикулярны(рис.2.2).

Пара взаимно перпендикулярных векторов {v₁,v₂} называется ортогональным базисом, а если ||v₁||=||v₂||=1, то эта пара называется ортонормированным базисом. Вектор с нормой, равной 1, называется единичным вектором. Векторы C₁v₁ и C₂v₂ называются проекциями вектора f .

Пусть дан вектор f исистема базисных векторов {v₁,v₂}. Покажем, чтокоэффициенты С₁ и С₂ вычисляются как скалярные произведения вектора f на каждый из векторов v₁ и v₂ .

Найдем скалярное произведение левой и правой частей равенства (2.1) и вектора v₁