Метрические пространства

Сигналы, обладающие некоторым общим свойством, можно объединить в одно множество S. Примером является множество периодических сигналов, множество сигналов с финитным спектром[1] и т. д. Определив множество, мы начинаем интересоваться отличительными свойствами элементов этого множества. Общий подход заключается в том, что каждой паре элементов ставится в соответствие действительное положительное число которое трактуется как расстояние между элементами xиy.

Множество, в котором определено расстояние, представляет собой пространство сигналов. При этом сигналы удобно рассматривать как векторы в этом пространстве. Функционал отображает каждую пару элементов на действительную ось и называется метрикой, обладающей следующими свойствами:

а) и ,если только x=y

б) (симметрия);

в) (неравенство треугольника).

Множество S с метрикой d называется метрическим пространством. Две разные метрики, определённые на одном и том же множестве, порождают разные метрические пространства. Приведём примеры часто используемых метрик.

Для аналоговых сигналов, заданных на интервале [0, T]

(2.1)

(2.2)

(2.3)

Для дискретных сигналов, заданных на интервале

(2.4)

(2.5)

(2.6)

В пространстве n-разрядных двоичных сигналов расстояние между любой парой таких сигналов

и

вполне будет определяться числом несовпадающих символов:

(2.7)

где Å означает сложение по модулю 2: без переноса в старший разряд. Метрика (2.7) определяет расстояние по Хеммингу для двоичных слов.