Теоремы о непрерывных функциях.

 

Теорема 1. (о сохранении знака непрерывной функции).

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на (а;b) и в точке х0 значение функции f(x0) 0. Тогда существует окрестность точки x0, в которой f(x) сохраняет знак.

 

Теорема 2. (I т. Больцано-Коши).

y
Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [а;b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков. Тогда существует такая точка с [а;b], что f(с)=0.

x
f(a)
f(b)
b
c
a

 

 


Замечание 1: Если выполняются условия этой теоремы, то график непрерывной функции обязательно пересечен осью ох.

Замечание 2: Если отказаться от условия непрерывности, то теорема не выполняется.

 

Теорема 3. (II т. Больцано-Коши о промежуточных значениях).

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [а;b], f(a)=А, f(b)=В. Тогда f(x) принимает все промежуточные значения между А и В.

 

Лемма о вложенных отрезках:

Дана последовательность вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю, т.е.:

[a1;b1] [a2;b2] [a3;b3] [an;bn] … .

Тогда существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам.

 


a1 a2 a3 . . . an… bn . . . b3 b2 b1

 

Рассмотрим последовательность левых концов:

{an} возрастает и ограничена сверху числом b1.

По теореме о пределе монотонной и ограниченной последовательности существует .

Рассмотрим последовательность правых концов:

{bn} убывает и ограничена снизу числом an

Рассмотрим С1 – С2= - = С1 = С2 Существует единственная точкка, принадлежащая всем отрезкам.

Теорема 4. (I т. Вейерштрасса).

Пусть функция f(x) непрерывна на [а;b]. Тогда f(x) ограничена на [а;b].

Док-во:

Предположим противное: функция f(x) не ограничена на [а;b]. Разделим [а;b] пополам и выберем ту часть, на которой f(x) не ограничена. Разделим эту часть пополам и выберем половину, на которой функция не ограничена и т.д.

Получим последовательность вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю.

Тогда по лемме о вложенных отрезках существует единственная точка С, принадлежащая всем отрезкам, такая, что в окрестности точки С функция f(x) не ограничена.

По условию теоремы f(x) непрерывна на [а;b] f(x) непрерывна в точке С.

По первому определению непрерывности .

По определению предела: такое, что из неравенства

Положим =1 .

Выберем М=max( ) f(x) ограничена в окрестности точки С.

Ч.т.д.

Теорема 5. (II т. Вейерштрасса).

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а;b]. Тогда она принимает на этом отрезке свое наибольшее и наименьшее значения.

 

x
y
fнаиб
b
a
fнаим

 

 

 







Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 1629; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.028 сек.