Свойства непрерывных функций.
1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций являются непрерывной функцией.
Док-во:
Докажем непрерывность суммы непрерывных функций.
Пусть f(x) и φ(x) непрерывны.
По первому определению непрерывности: , .
Рассмотрим
по первому определению сумма непрерывна в точке х0.
Непрерывность произведения и частного непрерывных функций доказывается аналогично.
Ч.т.д.
2. У непрерывной функции знак предела и знак функции можно менять местами.
Если f(x) ‒ непрерывная функция, то .
Док-во: По первому определению непрерывности
.
Ч.т.д.
3. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения. y=xn, y=sin x, y=ex,…
Док-во:
а) y=const.
Возьмем произвольное значение х и дадим приращение Δx.
Тогда функция получит приращение:
.
, т.к. .
По второму определению непрерывности y=const непрерывна в своей области определения.
б) y=x.
Возьмем произвольное значение х и дадим приращение Δx.
.
По второму определению непрерывности:
.
y=x непрерывна в своей области определения.
в) y=sinx.
Возьмем произвольное значение х и дадим приращение Δx.
По второму определению непрерывности:
0 cosx
как произведение б/м на ограниченную функцию. y=sinx непрерывна при .
Ч.т.д.
4. Пусть функция x=x(t) непрерывна в точке t0. Пусть функция y=y(x) непрерывна в точке x0, где x0=x(t0) . Тогда сложная функция y=y(x(t)) непрерывна в точке t0.
Док-во:
Тогда по первому определению сложная функция непрерывна в точке х0.
Ч.т.д.
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 2442;