Первый замечательный предел.

Доказательство:

Рассмотрим единичную окружность и отложим бесконечно малый угол x.

х

у

А

В

С

х

Пусть т.е. принадлежит 1 четверти.

Очевидны следующие неравенства:

Вернемся к неравенствам:

Перейдем к обратным выражениям:

Левая часть неравенства 1 1, т.к.

Правая часть неравенства

По теореме «о двух милиционерах»:

Аналогично при х<0:

Вместо x может быть любая б/м при х х₀, тогда

Ч.т.д.

Пример:

1)

2)

3)

Второй замечательный предел.

Доказательство:

Вспомним число как предел числовой последовательности:

I случай.

Пусть х>1, возьмем n=[x] – целая часть числа х.

n х<n+1.

Перейдем к обратному выражению:

Возведем в степень:

Вычислим предел левой и правой части двойного неравенства:

По теореме «о двух милиционерах»:

II случай.

Пусть х<-1: проведем аналогичные рассуждения и сделаем замену –х=y, получим:

.

Ч.т.д.

Второй замечательный предел для функций:

Пример:

1) =

2) =

Следствия из второго замечательного предела.

1.

Док-во:

Ч.т.д.

2.

Частный случай:

3.