Геометрический смысл производной.

На графике функции возьмем точку М₀ с координатами (x₀,y₀) и точку N с координатами ( ; ). Проведем через эти точки секущую.

x0

x0+ x

y(x0+Dx)

y0=y(x0)

Определение: Касательной к графику функции в точке M₀(x₀,y₀) называется предельное положение секущей M₀N, когда точка N стремится к точке M₀ по графику.

С одной стороны tga является угловым коэффициентом секущей, с другой стороны из прямоугольного треугольника: .

Когда точка N®M по графику, тогда приращение

аргумента Dx®0, при этом угловой коэффициент

касательной .

Переходя к пределу при ,

получаем .

Геометрический смысл производной заключается в следующем: производная функции в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x_0.

.

Физический смысл производной.

Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону S=S(t), где t ‒ время, S — координата точки на оси.

Физический смысл производной заключается в следующем: Производная – это мгновенная скорость изменения функции.

V_мгн=S'(t).