Аксиомы, законы, тождества и теоремы алгебры логики

В алгебре логики любая переменная может иметь состояние «0» или «1». Поэтому в алгебре логики каждой двоичной переменной, например х,ставится в соответствие обратная или дополнительная к ней (инверсная) переменная, такая, что:

если х – 0, то х = 1, если х = 1, то х = 0.

Переменную х следует читать как НЕ х.

В алгебре логики в случае одной переменной х действуют следующие правила (аксиомы):

1) х + 0 = х,6) х ·0 = 0,

2) х + 1 = 1, 7) х ·1 = х,

3) х + х = х, 8) х · х = х,

4) х + х = 1, 9) х · х =0,

5) (х) = х,10) (х)= х.

Правила 1÷4 характеризуют операцию логического сложения (д и з ъ ю н к ц и и ), правила 6÷9 – операцию логического умножения (конъюнкции) и правила 5,10 – операцию инверсии. Знак логического сложения «+» читается ИЛИ (например, правило 1: «х или 0 равен х»). Знак логического умножения « · » читается И (например, «х и 0 равен 0»).

Для алгебры логики, как и для обычной алгебры, действительны следующие законы.

Переместительный закон (закон коммутативности) для логического сложения и умножения:

1) х + у = у + х,

2) х · у = у · х.

Сочетательный закон (закон ассоциативности) для логического сложения и умножения:

1) х + у + z = (х + у) + z = х + (у + z),

2) x · y · z = (x · y) · z = x · (y · z).

Распределительный закон (закон дистрибутивности логического умножения по отношению к сложению):

х (у + z)= х · у + х · z.

К основным законам алгебры логики относятся законы инверсии для логических операций сложения и умножения (теоремы де Моргана):

х + у + z = х · у · z ,

т. е. инверсия суммы переменных есть произведение их инверсий;

х · у · z = х + у + z ,

т. е. инверсия произведения переменных есть сумма их инверсий.

Справедливость соотношений для двух переменных подтверждает табл. 1.

Таблица 1

x	y	x	y	х + у	х·у	x + y	x·y	x·y	x + y