Алгоритм решения задач с помощью теоремы о движении центра масс СМТ – схема алгоритма

Д45 ЦМС с комментариями и примерами

Комментарии

К.2.Рассматриваемый объект принимается за МС, указывается система отсчета, в которой исследуется ее движение. Выделяются и нумеруются МТ и НМС, входящие в МС. На чертеже изображается силовая схема, т.е. рисуются все внешние силы и моменты, действующие на МС, в том числе внешние пассивные силы и моменты – реакции связи на основании принципа освобождаемости от связей (аксиома 5 статики). Формулируются начальные условия.

К.3, 4. Находятся проекции главного вектора внешних сил и радиуса-вектора центра масс только на те направления (оси), вдоль которых необходимо определить силы (1-я задача динамики) и перемещения или кинематические параметры (2-я задача динамики).

Координаты центра масс МС вычисляются для текущего или заданного момента времени через заданные размеры и параметры движения. Для определения координат центра масс может быть использована схема алгоритма С08 ОЦТ (Ч.2 Статика), а в случае сложного движения МТ, входящей в МС, алгоритм К07 СДТ (Ч.1 Кинематика).

К.5.б.Для случая и ось x выбрана для определенности. В реальной задаче такой осью может быть любая другая.

К.8.в.При интегрировании используются либо метод разделения переменных, либо теория линейных дифференциальных уравнений первого и второго порядков. Постоянные интегрирования находятся с помощью начальных условий.

Примечание

Теорема о движении центра масс МС чаще всего применяется в случаях, когда НМС совершает поступательное движение, а МТ - любое движение, для определения перемещений того или иного объекта и для определения пассивных сил – реакций связи, вызванных этими перемещениями.

Пример 1

2 Электрический мотор массы установлен без крепления на негладком горизонтальном фундаменте (коэффициент трения скольжения f). На валу мотора под прямым углом закреплен одним концом однородный стержень длиной 2l и массы . На другой конец стержня насажен точечный груз массы (рис. 31). Угловая скорость вала постоянна и равна . Определить суммарную силу давления на фундамент, горизонтальное перемещение мотора и условия, при которых мотор будет подпрыгивать, не будучи прикреплен болтами.

Рис. 31

В начальный момент мотор находится в покое и стержень горизонтален. Ось х горизонтальна, ось у проходит через вал в начальный момент времени.

МС состоит из: двух АТТ (мотор и стержень) и МТ (груз).

3С04 ППВ

Обозначим координаты центра масс мотора через х₁, у₁, центра масс стержня х₂, у₂, и координаты груза х₃, у₃ в момент времени t. Координаты центра масс стержня и груза записы-ваются с учетом того, что они участвуют в сложном движении (переносном движении вместе с мотором и относительном вращательном движении относительно мотора).

здесь – перемещение мотора (переменная величина),

здесь

5 1-я задача динамики – определить силу реакции фундамента (используется проекция на ось у).

6а К01 КМТ

7а

8а

Ответ:

Мотор будет подпрыгивать над фундаментом, если ,

т.е. при , .

9а 2-я задача динамики – определить горизонтальное перемещение мотора (используется проекция на ось х).

5 .

6в

7в

Подставляется из 8а и определяется :

8в Дважды интегрируется предыдущее уравнение

Постоянные интегрирования определяются с помощью начальных условий:

при t = 0 x = 0, следовательно,

при t = 0 , следовательно,

9в Ответ: .

Пример 2

2 Три тела массы соединенные нерастяжимой нитью, переброшенной через неподвижные блоки, находятся на трапеции массы (рис. 32)

Определить перемещение трапеции относительно пола, если тело массы опустится вниз на h. Трением скольжения и массами блоков и нити пренебречь.

В начальный момент времени трапеция и тела находятся в покое. Ось х горизонтальна, ось у проходит через положение центра масс трапеции в начальный момент времени.

МС состоит из: АТТ (усеченной пирамиды) и трех МТ.

Рис. 32

3С04 ППВ

Здесь – абсцисса центра масс МС после того, как МТ массы опустится на h. Абсциссы трех МТ для указанного момента времени записываются с учетом того, что эти МТ участвуют в сложном движении (переносное перемещение вместе с трапецией на s и относительное перемещение этих МТ относительно трапеции).