Геометрическое приложение определенного интеграла

1. Вычисление площади плоской фигуры (области (D))

а) Линии, ограничивающие область (D), заданы в декартовых координатах

Случай 1. Площадь области (D), ограниченной прямыми (b>a) и непрерывными кривыми где (рис. 1), находится по формуле:

(1)

Случай 2. Площадь области (D), ограниченная прямыми y=c, y=d (d>c) и

непрерывными кривыми и где (рис. 2), находится по формуле:

(2)

Рис. 2

б) Линии, ограничивающие область (D), заданы в параметрической форме.

Формула для вычитания площади области (D), ограниченной прямыми x=a, x=b (b>a), непрерывной линией, заданной параметрически уравнениями:

, где ψ(t)≥0∀t∈[t₁;t₂] (3)

в) Линии, ограничивающие область (D), заданы в полярной системе координат

Площадь области (D), ограниченной полярными лучами φ=α, φ=β (β>α) и непрерывными полярными кривыми: r=f(φ), r=ψ(φ), где находится по формуле:

(4)

2. Вычисление объема тела вращения

Формула для вычисления объема тела вращения, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси (ox), имеет вид:

(5)

(рис. 4)

а вокруг оси (oy):

(6)

(рис. 5)