Интегрирование посредством разложения подынтегральной функции на слагаемые

Метод интегрирования разложением функции на слагаемые базируется на линейных свойствах неопределенного интеграла (4 и 5). Если подынтегральная функция представляет алгебраическую сумму нескольких слагаемых, то согласно свойству (5) можно интегрировать каждое слагаемое отдельно. Это позволяет многие интегралы свести к сумме более простых интегралов.

Примеры с решениями

Пример 1. Найти интеграл

Решение.

Ответ:

Пример 2. Найти интеграл

Решение. Разлагаем подынтегральную функцию на слагаемые, деля числитель почленно на знаменатель.

Ответ:

Пример 3. Найти интеграл

Решение. Возводим в куб и интегрируем каждое слагаемое.

Ответ:

Пример 4. Найти интеграл

Решение. Разлагаем подынтегральную дробь на две слагаемых дроби, деля числитель почленно на знаменатель.

Ответ:

Пример 5.Найти интеграл

Решение. Выделим в неправильной дроби целую часть и правильную дробь.

Ответ:

Примеры для самостоятельного решения

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Ответы

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16. ; 17. ; 18. ; 19. ; 20. .