Вычисление двойного интеграла

Двойной интеграл, его вычисление. Криволинейные интегралы.

Содержание лекции: Двойной интеграл, его вычисление по правильной области в декартовых координатах. Криволинейный интеграл первого рода, его вычисление.

Криволинейный интеграл второго рода.

Двойной интеграл

Пусть в ограниченной замкнутой области DÌR² задана непрерывная функция .

Разобьем D на n частей D_i, площадь D_i обозначим DS_i, а

l_n = .

В каждой области D_i произвольным образом возьмем точку ÎD_i и вычислим f(P_i). Составим – интегральную сумму для функции по области D. Будем рассматривать последовательность {s_n} интегральных сумм, соответствующую различным разбиениям таким, что l_n ® 0 при n ® ¥ (нормальная последовательность разбиений).

Определение 22. 1.

Если существует конечный предел последовательности {s_n} при l_n® 0, не зависящий ни от способа разбиения области D, ни от выбора точек , то этот предел называется двойным интегралом по области D от функции f(х, у) и обозначается .

Таким образом, по определению:

В этом случае функция называется интегрируемой в области D.

Теорема 4.1.

Если f(P) непрерывна в D, то она интегрируема в этой области (то есть существует ).

Свойства двойного интеграла:

1.

2. - свойство линейности

3. Если , то

(свойство аддитивности)

4. Если " P(x,y)ÎD, то .

5. Если m £ f((x,y) £ M, " P(x,y)ÎD,то .

6. Существует точка Q(x,y)Î D: = f(Q)×|D| (Теорема о среднем.)

(4-6 – свойства оценки интеграла по области).

Рассмотрим геометрический смысл интеграла

Введем понятие: цилиндрическим телом назовем пространственное (в R³) тело, ограниченное плоскостью z=0, поверхностью и цилиндрической поверхностью, направляющая которой есть граница области DÎ R³, а образующая параллельна оси OZ.

Разобьем область D на части D_ij, и на каждой из них построим параллелепипед с высотой f(ξ_i, η_j), где Р(ξ_i, η_j) – любая точка, принадлежащая D_ij.

Тогда

V_ц.т. ,

откуда

V_ц.т. = .

Таким образом, двойной интеграл, с геометрической точки зрения, численно равен объему цилиндрического тела. Физическую интерпретацию (масса плоской области) дать самостоятельно.

Вычисление двойного интеграла

Так как по определению интеграл не зависит от способа разбиения D на части, то разобьем D на части прямыми, параллельными осям координат. Для этого спроектируем D на оси координат. Получим отрезки [a, b] на оси ОХ и [c, d] на OY соответственно.

Разобьем эти отрезки точками:

a < x₁ < x₂ < ... < x_n = b

c < y₁ < y₂ < ... < y_k = d

Тогда область D разобьется на прямоугольники (полные, или их части) D_ij, i= , j = , площади которых:

|D_ij| = D S_ij = Dx_i Dy_j, гдеDx_i = x_i- x_i-1,Dy_j = y_j - y_j-1

И если , то по определению:

,

где (ξ_i, η_j) - любая точка, принадлежащая прямоугольнику D_ij .

Но так как

,

то есть имеем двойное суммирование, отсюда и термин (и обозначение) – двойной интеграл.

Определим способы вычисления ДИ

Определение 22.2.

Область D Î R² называется правильной в направлении оси OY, если она ограниченна линиями x = a, x = b, y = j₁(x), y= j₂(x), причем j₁(x) £ j₂(x) для любого xÎ[a,b].

В этом случае каждая прямая, проходящая параллельно OY через любую внутреннюю точку PÎD, пересекает границу области только в двух точках М₁, М₂. Точку М₁ называют точкой «входа» (в направлении OY), М₂ – точкой «выхода». Линия y = j₁(x), на которой лежат точки «входа» - это «линия входа», y= j₂(x) – «линия выхода».

Таким образом, область правильная в направлении оси, если она в направлении этой оси имеет только одну линию входа и одну линию выхода.

Например, на рисунке изображена область, неправильная в направлении оси ОХ, ее можно разбить на две правильные области:

Аналогично определяется область, правильная в направлении оси ОХ: ограниченную линиями y = c, y = d, кривыми х = y₁(у), х= y₂(у), причем y₁(у) £ y₂(у) для любого yÎ[c,d].

Теорема 22.2.

Пусть f(x,y) – непрерывная в области D функция.

1) Если D – правильная в направлении оси OY, то

2) Если D – правильная в направлении оси OX, то

Интегралы, стоящие справа, называются повторными интегралами (или двукратными). Последняя запись – условное, сокращенное изображение предыдущей. Понимается она так, как записано в центре. При этом первый (левый) интеграл называется внешним, а его переменная – внешней переменной, пределы – внешними пределами.

Второй (в скобках или справа) – внутренний интеграл, его переменная – внутренняя, пределы – внутренние. Запись этих интегралов определяет порядок интегрирования: no dx - no dy; no dy - no dx (так же как при вычислении смешанной производной второго порядка).

Пример 1.

D – правильная в любом направлении.

Пример 2.

( точки пересечения: х + х = 2, х = 1, y = 1)

=