Разложение рациональной дроби на сумму простых дробей

Определение 1. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов:

Определение 2. Рациональная дробь называется правильной, если m < n. В противном случае (если m ³ n) она называется неправильной.

Определение 3. Простыми рациональными дробями называются дроби следующих четырех типов:

I . ,

II. ,

III. ,

IV.

Теорема 1. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы целой части (многочлена) и правильной рациональной дроби.

Теорема 2. Любую правильную рациональную дробь можно единственным образом представить в виде суммы конечного числа простых рациональных дробей.

Разложение правильной рациональной дроби (m<n) на сумму простых дробей можно выполнить по следующей схеме:

· Найти корни многочлена Q_n(x) и представить его в виде произведения простых множителей:

,

где ,

,

,

,

· Записать разложение дроби с неопределёнными коэффициентами:

· Определить коэффициенты

,

суммарное число которых равно n, методом неопределённых коэффициентов.

Для этого необходимо всё разложение привести к общему знаменателю и приравнять числитель полученной дроби к P_m(x). Приравнивая в этих многочленах коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему из n линейных уравнений с n неизвестными. Эта система имеет единственное решение – искомые коэффициенты.