Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат.

y(x,y) j(x,y )

Пусть пространственное тело проектируется на плоскость OXY в область D, а на ось OZ в отрезок [c, d].Пусть «верхняя» граница тела описывается уравнением поверхности z = y(x, y), «нижняя» – уравнением z = j(x, y). Пусть элемент DV пространственного тела V проектируется на плоскость OXY в область Dxy , а на ось OZ в отрезок [z, z+Dz]. Для того чтобы вычислять тройной интеграл как предел интегральных сумм, нужно в интегральной сумме перебирать эти элементы по определенному алгоритму.

Если сначала перебирать элементы в столбце над областью D_xy, от нижней границы до верхней (внутренний интеграл), а затем перемещать область D_xy в D (внешний двойной интеграл), то получим повторный интеграл .

Если сначала перебирать элементы в слое [z, z+Dz] (внутренний интеграл), а затем .перемещать слой на [c, d], (внешний интеграл), то получим повторный интеграл .И в том, и в другом случае тройной интеграл сводится к определенному и двойному интегралам.

Пример. Вычислить массу тетраэдра плотностью f(x, y, z) = z, ограниченного плоскостями x+y+z = 1, x+z =1, x+y = 1, y+z =1.