Примеры с решениями. Вычислить площадь, ограниченную линиями

Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную линиями: параболой и прямой .

Решение. Построив данные линии, видно, что искомая площадь области ACB (рис.6) ограниченной сверху параболой и снизу прямой, которые пересекаются в точках А (1; ) и В (6;3), равна разности площадей А₁АСВВ₁ и А₁АВВ₁. Тогда площадь области выражается интегралом в соответствии с формулой (1).

Ответ: кв. ед.

Пример 2. Найти площадь, ограниченную эллипсом , .

Решение. Оси координат совпадают с осями симметрии данного эллипса (рис. 7).Четвертую часть искомой площади S, расположенную в первой четверти координатной плоскости, найдем как площадь криволинейной трапеции, прилегающей к Ox:

Ответ: S = 8π кв. ед.

Пример 3. Вычислить площадь, ограниченную кардиоидой .

Решение. Кардиоида симметрична относительно полярной оси (рис. 8). Тогда искомая площадь равна удвоенной площади криволинейного сектора OAB. Дуга OAB описывается концом полярного радиуса ρ при изменении угла φ от 0 до π. Используя формулу (4) найдем S.

Ответ:

Пример 4. Вычислить объём тела, образовавшегося вращением фигуры, ограниченной линиями , вокруг оси OX (рис. 9).

Решение. Построив параболу и прямую , получим внутреннюю область OAB при вращении её вокруг оси OX, образуется сегмент параболоида вращения. Объем этого тела находим по формуле (5).

Ответ: ед. куб.

Пример 5. Определить работу, произведённую при адиабатическом расширении воздуха, имеющего начальный объём V₀ = 1 м³ и давление P₀ = 9,8·10⁴ Падо объёма V₁ = 10 м³.

Решение. Объём газа в закрытом сосуде и производимое им давление P связаны формулой:

Пусть x (м) – расстояние пройденное поршнем (рис. 6). Предположим, что при изменении x на малую величину Δx испытываемое поршнем давление остаётся неизменным; при этом объём V изменится на ΔV. Работа силы давления на отрезке Δx выразится приближённым равенством: , где S – площадь поршня. Так как , то , при этом . Следовательно:

. (Схема II)

Интегрируя в пределах от V₀ до V₁ дифференциальное равенство , получим