Примеры с решениями

Пример 1.Вычислить площадь, ограниченную линиями: параболой и прямой .

Решение. Построив данные линии, видно, что искомая площадь области ACB (рис.6) ограниченной сверху параболой и снизу прямой, которые пересекаются в точках А (1; ) и В (6;3), равна разности площадей А1АСВВ1 и А1АВВ1. Тогда площадь области выражается интегралом в соответствии с формулой (1).

Ответ: кв. ед.

 

Пример 2. Найти площадь, ограниченную эллипсом , .

Решение. Оси координат совпадают с осями симметрии данного эллипса (рис. 7).Четвертую часть искомой площади S, расположенную в первой четверти координатной плоскости, найдем как площадь криволинейной трапеции, прилегающей к Ox:

 

Ответ: S = 8π кв. ед.

Пример 3.Вычислить площадь, ограниченную кардиоидой .

Решение. Кардиоида симметрична относительно полярной оси (рис. 8). Тогда искомая площадь равна удвоенной площади криволинейного сектора OAB. Дуга OAB описывается концом полярного радиуса ρ при изменении угла φ от 0 до π. Используя формулу (4) найдем S.

 

Ответ:

 

Пример 4.Вычислить объём тела, образовавшегося вращением фигуры, ограниченной линиями , вокруг оси OX (рис. 9).

Решение. Построив параболу и прямую , получим внутреннюю область OAB при вращении её вокруг оси OX, образуется сегмент параболоида вращения. Объем этого тела находим по формуле (5).

Ответ: ед. куб.

Пример 5.Определить работу, произведённую при адиабатическом расширении воздуха, имеющего начальный объём V0 = 1 м3 и давление P0 = 9,8·104 Падо объёма V1 = 10 м3.

Решение. Объём газа в закрытом сосуде и производимое им давление P связаны формулой:

Пусть x (м) – расстояние пройденное поршнем (рис. 6). Предположим, что при изменении x на малую величину Δx испытываемое поршнем давление остаётся неизменным; при этом объём V изменится на ΔV. Работа силы давления на отрезке Δx выразится приближённым равенством: , где S – площадь поршня. Так как , то , при этом . Следовательно:

. (Схема II)

Интегрируя в пределах от V0 до V1 дифференциальное равенство , получим

 






Дата добавления: 2017-01-08; просмотров: 567; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2019 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.007 сек.